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Posts Tagged ‘teorema de Kaloshin e Rodnianski’

Lembramos que o teorema de Kaloshin e Rodnianski é:

Teorema. Dois elementos genéricos (no sentido da medida de Haar) A,B\in SO(3) são fracamente Diofantinos no seguinte sentido: existe uma constante D=D(A,B)>0 tal que

\|W_n(A,B)-E\|\geq D^{-n^2}

para toda W_n(A,B) palavra de tamanho n nas letras A,B.

Conforme adiantamos no post anterior, vamos utilizar a seguinte notação: dados A,B\in SO(3), denotamos por \alpha,\beta os ângulos de rotação de A,B e \gamma o ângulo entre os eixos de rotação v_A,v_B de A,B. Sem perda de generalidade, iremos assumir que A esta normalizada de maneira que v_A é o eixo OX em \mathbb{R}^3. No mais, denotaremos as palavras W_n(A,B) por W_n(\alpha,\beta,\gamma). Para trabalhar melhor com as palavras de um dado tamanho, introduzimos multi-indices \mathcal{I}_m=(s_1,r_1,\dots,s_m,r_m) onde s_1 e r_m podem ser zero mas os outros 2m-2 inteiros são todos não-nulos. O tamanho |\mathcal{I}_m| do multi-indice \mathcal{I}_m é |\mathcal{I}_m|=\sum_p(|s_p|+r_p). A palavra W_{\mathcal{I}_m}(A,B) parametrizada por \mathcal{I}_m é

W_{\mathcal{I}_m}(A,B)=A^{s_1}B^{r_1}\dots A^{s_m}B^{s_m}.

Com esta notação e utilizando o fato da medida de Haar \mu\times\mu em SO(3)\times SO(3) ser equivalente a medida de Lebesgue Leb_3 no espaço de parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3, vemos que o teorema de Kaloshin e Rodnianski equivale à:

Teorema. Para Leb_3 quase todo (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3, existe uma constante D=D(\alpha,\beta,\gamma)>0 tal que

\min\limits_{|\mathcal{I}_m|=n}\|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|\geq D^{-n^2} para todo n\geq 1.

Dada uma constante D>0, defina

\Phi_{\mathcal{I}_m}(D)=\{(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3: \|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|\geq D^{-n^2}\}

e

\Phi_n(D)=\bigcup\limits_{|\mathcal{I}_m|=n}\Phi_{\mathcal{I}_m}(D).

Como ja antecipamos na discussão anterior, um argumento simples usando o lema de Borel-Cantelli mostra que o teorema acima é uma consequência do seguinte fato:

Teorema 1. Existe uma constante D^*>0 tal que

\sum\limits_{n=1}^{\infty}Leb_3(\Phi_n(D^*))<\infty.

No que se segue, iremos nos concentrar na prova do teorema 1. Para isso, adotaremos a seguinte estratégia:

  • a idéia basica seria utilizar a representação quarteniônica de SO(3) para escrever \|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|^2 como um polinômio trigonométrico (e usar os lemas classicos de Dani, Kleinbock e Margulis para estimar o tamanho da vizinhança dos zeros destes polinômios); entretanto, por motivos técnicos, procederemos como nos dois passos abaixo;
  • veremos que estimar Leb_3(\Phi_n(D^*)) corresponde moralmente a estudar o tamanho do conjunto dos parâmetros (\alpha,\beta,\gamma) onde a derivada \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) da palavra W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) com relação a variavel \alpha é pequena;
  • em seguida, estimamos o conjunto destes parâmetros usando a representação quarteniônica de SO(3) para estimar \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) (o que sera tecnicamente mais simples).

Redução do teorema 1 ao estudo da derivada \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}

Defina \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D)=\{(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3: \|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq D^{-2n^2/3}\}. Para comparar as medidas de Lebesgue de \Phi_{\mathcal{I}_m}(D) e \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D), precisaremos do seguinte lema:

Lema 1. \|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq |\mathcal{I}_m|^4.

Prova. Os elementos de SO(3) podem ser escritos em representação quaterniônica como

q=\cos\theta + \sin\theta\cdot(iv_1+jv_2+kv_3)

onde \theta é o ângulo de rotação e (v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3 é o eixo de rotação. Nesta representação, temos

\begin{array}{l}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) = \\(\cos(s_1\alpha)+i\sin(s_1\alpha)) (\cos(r_1\beta)+\sin(s_1\beta)(i\cos\gamma+j\sin\gamma))\dots \\ (\cos(s_m\alpha)+i\sin(s_m\alpha)) (\cos(r_m\beta)+\sin(s_m\beta)(i\cos\gamma+j\sin\gamma))\end{array}.

Derivando duas vezes em \alpha, obtemos

\|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq \left(\sum\limits_{p=1}^m|s_p|\right)^4\leq |\mathcal{I}_m|^4.

Isto encerra a prova do lema 1. \square

Com este lema em mãos, podemos mostrar sem dificuldades o seguinte fato:

Lema 2. Dado \mathcal{I}_m um multi-indice de tamanho |\mathcal{I}_m|=n, temos

Leb_3(\Phi_{\mathcal{I}_m}(D))\leq Leb_3(\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D))+ 4n^4D^{-n^2/3}.

Prova. Dado (\alpha^*,\beta,\gamma)\notin\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D), vemos da definição de \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D) e do lema 1

\|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha^*,\beta,\gamma)\|^2\geq D^{-2n^2/3} \quad \textrm{ e } \quad \|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha^*,\beta,\gamma)\|^2\leq n^4.

Em seguida, dividimos o circulo \mathbb{T}_{\alpha} em 2D^{n^2/3}/n^4 intervalos de tamanhos iguais e denotamos por I o intervalo contendo \alpha^*. As estimativas acima e o teorema de Taylor implicam que

\|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\geq \frac{D^{-n^2/3}}{2}.

Logo, obtemos que a medida de Lebesgue do conjunto dos \alpha\in I tais que (\alpha,\beta,\gamma)\notin\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D) é 2D^{-2n^2/3}. Juntando estas estimativas sobre todos os n^4/2D^{n^2/3} intervalos I e usando o teorema de Fubini, temos a prova do lema. \square

A derivada \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m} como um polinômio trigonométrico

Lema 3. Cada palavra W_{\mathcal{I}_m} de tamanho n=|\mathcal{I}_m| esta associada a um polinômio P_{\mathcal{I}_m}(x_{\alpha},y_{\alpha},x_{\beta},y_{\beta},x_{\gamma},y_{\gamma}) de grau 2n+2m com coeficientes inteiros tal que

\|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2 = P_{\mathcal{I}_m}(\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta,\cos\gamma,\sin\gamma).

Prova. Isso segue de um calculo explicito usando a representação quaterniônica para W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) (veja a prova do lema 1). \square

Como ja comentamos, a proxima etapa consiste em utilizar a informação do lema acima para estimar o tamanho do conjunto \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D). Mais precisamente, temos o seguinte teorema:

Teorema 2. Existe uma constante D^* tal que

\textrm{Leb}_3(\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D^*))\leq 5^{-n}

para todo multi-indice \mathcal{I}_m de tamanho n=|\mathcal{I}_m| suficientemente grande.

Antes de entrar nos detalhes do teorema 2, vejamos que o teorema 1 segue do teorema 2.

Prova do teorema 1 (assumindo o teorema 2). Observamos que o numero de palavras de tamanho n é 4^n. Portanto, o teorema 2 e o lema 2 dizem que

\textrm{Leb}_3(\Phi_n(D^*))\leq (4/5)^n + 4n^4(D^*)^{-n^2/3}

para todo n grande. Em particular, o resultado de somabilidade desejado segue. \square

Para encerrar o post de hoje, vamos fazer um esquema da prova do teorema 2 na proxima seção.

Estimativas para polinômios e eliminação de variaveis

Lembramos ao leitor do seguinte lema de estimativa de polinômios em uma variavel:

Lema 4 (Dani, Kleinbock e Margulis). Seja P(x) um polinômio real de grau \leq n e denote por \|P\|_{I}:=\max\limits_{x\in I} |P(x)|. Então, para todo I intervalo compacto e todo \varepsilon>0, temos

\textrm{Leb}_1(x\in I: |P(x)|\leq\varepsilon)\leq 2n(n+1)^{1/n}(\varepsilon/\|P\|_I)^{1/n} |I|.

A prova deste resultado usa interpolação de Lagrange ao longo de um conjunto de pontos bem-escolhidos. O leitor curioso por mais detalhes pode ver a (curta) demonstração do lemma 2 do meu post em ingles sobre o teorema de Fayad e Krikorian (cuja prova é, por sua vez, baseada nestes argumentos de Kaloshin e Rodnianski).

Logicamente, o lema 4 não pode ser aplicado diretamente ao nosso caso porque nossos polinômios P_{\mathcal{I}_m} possuem varias variaveis (as quais possuem relações entre elas). Entretanto, esta dificuldade técnica pode ser contornada através do método de eliminação de variaveis. Para explicar como este método funciona, consideramos F(x,y), G(x,y) dois polinômios em duas variaveis x,y. O estudo dos zeros comuns de F, G pode ser reduzido ao estudo dos zeros de um polinômio em uma variavel do seguinte modo: fixando x_0, sabemos dos cursos de Algebra que a existência de raizes comuns y de F(x_0,y), G(x_0,y) é completamente determinada pelo anulamento do polinômio resultante R[F,G](x_0)=0 (o qual depende apenas da variavel x). Ou seja, a questão de entender zeros comuns de polinômios com duas variaveis pode ser reduzida ao problema de entender os zeros de um polinômio de uma variavel (com grau ligeiramente maior). Logicamente que para a aplicação desta idéia no contexto do lema 4, precisamos de versões quantitativas do método de eliminação de variaveis. Felizmente, isso foi feito por Kaloshin e Rodnianski no lema 6 do artigo. Entretanto, para fazer o método funcionar no nosso caso é necessario acompanhar todas as constantes e graus dos polinômios envolvidos na eliminação, o que é um trabalho técnico que não pode ser descrito em detalhes em um post. Porém, podemos dar uma idéia geral de como o processo ocorre.

Pelo lema 3, a prova do teorema 2 fica reduzida a uma estimativa do tamanho de conjuntos da forma

\{(\alpha,\beta,\gamma):|P_{\mathcal{I}_m}(\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta,\cos\gamma, \sin\gamma)|\leq \varepsilon\}.

Com esse intuito, notamos que, fazendo x_{\theta}=\cos\theta e y_{\theta}=\sin\theta, essa tarefa essencialmente equivale a estudar o conjunto de soluções comuns para as equações polinomiais

P_{\mathcal{I}_m}(x_{\alpha},y_{\alpha},x_{\beta},y_{\beta},x_{\gamma}, y_{\gamma})-\varepsilon=0

e

x_{\alpha}^2+y_{\alpha}^2-1=0, \quad x_{\beta}^2+y_{\beta}^2-1=0, \quad x_{\gamma}^2+y_{\gamma}^2-1=0.

Em seguida, aplicamos o método de eliminação de variaveis três vezes na seguinte ordem: primeiro eliminamos a variavel y_{\alpha} através do polinômio resultando R entre P_{\mathcal{I}_m} e x_{\alpha}^2+y_{\alpha}^2-1; depois, eliminamos (de modo analogo ao anterior) y_{\beta} através da resultante R_1 entre R e x_{\beta}^2+y_{\beta}^2-1=0; finalmente, eliminamos y_{\gamma} obtendo um polinômio R_2.

Para justificar porque a eliminação fornece boas estimativas, precisamos saber
que R_2 é um polinômio não-degenerado (i.e., R_2 não é identicamente nulo). No nosso caso, o processo de eliminação nunca é degenerado porque a resultante entre P_{\mathcal{I}_m} e x^2+y^2-1 identicamente nula implicaria que a função W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) é degenerada (i.e., constante). Entretanto, desde os trabalhos de Hausdorff no paradoxo de Banach-Tarski, sabemos que elementos genéricos de SO(3) geram um grupo livre, de modo que a função W_{\mathcal{I}_m} não pode ser constante (isto pode ser visto diretamente da representação quarteniônica: veja o lemma 2 de Kaloshin e Rodnianski).

Com isso, o esquema da prova do teorema 2 esta terminado! Ate mais!

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Ola! Hoje eu pretendo iniciar a discussão de um resultado de V. Kaloshin e I. Rodinianski sobre a genericidade de elementos Diofantinos dos grupos SO(3) e SU(2). A motivação basica consiste em estender para o contexto não-comutativo o seguinte teorema bem-conhecido sobre a ma-aproximação de numeros reais ”tipicos”:

Teorema 0. Quase todo numero real x\in\mathbb{R} (no sentido da medida de Lebesgue) é Diofantino: existem constantes C,\tau>0 tais que

|x-p/q|\geq C/q^{2+\tau}

para quaisquer p,q\in\mathbb{N} inteiros.

Observação 0. Um argumento topologico simples (baseado no teorema de Baire), mostra que o conjunto de numeros Liouville (i.e., os numeros não-Diofan- tinos) é residual. A prova deste fato é deixado como exercicio. (Sugestão: Utilize a negação da condição Diofantina para escrever os numeros Liouville como a uniao enumeravel de abertos densos).

Certamente o leitor ja deve ter encontrado varios contextos onde as propriedades Diofantinas dos numeros reais são fundamentais: por exemplo, em Sistemas Dinâmicos, sabemos que as propriedades Diofantinas dos numeros de rotação de difeomorfismos do circulo e dos autovalores da derivada em pontos periodicos de transformações holomorfas estão profundamente ligadas as questões de linearização e conjugação de tais sistemas (veja estes dois trabalhos de Yoccoz, por exemplo), enquanto que na teoria KAM é bem-co- nhecida a persistencia das dinâmicas correspondentes a toros invariantes suportando rotações de ângulos verificando condições Diofantionas (veja esta exposição de Yoccoz sobre os trabalhos de Herman, por exemplo).

Visando generalizar o teorema 0 para o contexto de grupos não-comutativos, uma formulação natural da propriedade Diofantina nos grupos SO(3) e SU(2) é a seguinte:

Definição 1. Dizemos que g_1,\dots,g_k\in SO(3) (ou SU(2)) são Diofantinos sempre que existir uma constante D(g_1,\dots,g_k)>0 tal que toda palavra W_n de tamanho n sobre as letras g_1,g_1^{-1},\dots,g_k,g_k^{-1} verifica

(1) \|W_n\pm E\|\geq D(g_1,\dots,g_k)^{-n}.

Aqui E\in SO(3) é a identidade.

Observação 1. Tendo em vista palavras como ABA^{-1}B^{-1} (e outras similares), segue que uma condição necessaria para que os elementos g_1,\dots,g_k sejam Diofantinos é que o subgrupo gerado por g_1,\dots,g_k seja livre.

Observação 2. Um argumento simples baseado no principio da casa de pombos e na compacidade de SO(3) mostra que a condição Diofantina acima é op- timal: como a quantidade de palavras de tamanho n cresce exponencial- mente com n, as versões super-exponencial ou polinomial da estimativa (1) são fraca ou forte demais para descrever o comportamento tipico dos elementos de SO(3). Com efeito, o leitor é convidado a verificar que, dados g_1,\dots,g_k gerando um subgrupo livre de SO(3) e m\geq 1 inteiro, sempre existe uma palavra W_m de tamanho m sobre as letras g_1,g_1^{-1},\dots,g_k,g_k^{-1} tal que

\|W_m-E\|\leq 10/(2k-1)^{m/6}.

Observação 3. Analogamente ao caso dos numeros reais (vide observação 0), um argumento elementar mostra que para um conjunto residual de pares A,B\in SO(3) a condição Diofantina não é satisfeita.

Observação 4. Nas nossas futuras considerações, os papéis de SO(3) e SU(2) são moralmente idênticos porque SU(2) é o recobrimento (duplo e universal) de SO(3).

Com esta noção de elementos Diofantinos de SO(3) e SU(2), o analogo do teorema 0 é:

Conjectura (Gamburd, Jakobson e Sarnak). Quase todos os elementos g_1,\dots,g_k\in SU(2) ou SO(3) (no sentido da medida de Haar) são Diofantinos.

No presente momento, esta conjectura encontra-se em aberto (até onde o autor sabe). A relevância da conjectura de Gamburd, Jakobson e Sarnak é expressada na sua aplicação na solução do problema de Ruziewicz.

O problema de Ruziewicz consiste em mostrar que toda probabilidade finitamente aditiva da esfera S^n a qual é invariante pelo grupo de rotações SO(n+1) é a medida de Lebesgue. Na linguagem da teoria ergodica, este problema corresponde a saber se a ação de SO(n+1) em S^n é unicamente ergodica (com relação ao espaço de probabilidades finitamente aditivas). Note que quando a medida é \sigma-aditiva, este resultado foi provado por Lebesgue. Entretanto, S. Banach provou que este problema tem solução negativa em dimensão n=1 (de fato, J. Rosenblatt melhorou o resultado de Banach provando que existe todo um continuo de probabilidades finitamente aditivas invariantes por rotações do circulo). Por outro lado, G. Margulis e D. Sullivan (independentemente) mostraram que a solução do problema de Ruziewicz é afirmativa quando n\geq 4 usando a chamada propriedade T de Kazhdan. Finalmente, V. Drinfeld resolveu os casos restantes (n=2,3) dando uma solução afirmativa ao problema.

Conforme os resultados de J. Rosenblatt, o problema de Ruziewicz pode ser reduzido a questão de achar subgrupos livres F de SO(n+1) com a propriedade de lacuna espectral: existe uma constante c>0 tal que para toda função f\in L^2(S^n) com média nula podemos encontrar um elemento g\in F com

\|f\circ g - f\|_{L^2}\geq c\|f\|_{L^2}.

Observação 5. A informação relevante aqui é a condição de lacuna espectral: com efeito, desde os trabalhos de Hausdorff (em 1914) sobre o paradoxo de Banach-Hausdorff-Tarski, sabemos da existência de subgrupos livres com dois geradores. De fato, trabalhando-se um pouco, podemos mostrar que o conjunto de pares de matrizes A,B\in SO(3) os quais não geram um subgrupo livre é uma união enumeravel de conjuntos analiticos de codimensão 1 (isto sera visto mais tarde). Portanto, temos uma abundância de subgrupos livres com dois geradores, de maneira que basta achar um subgrupo livre com lacuna espectral dentro deste ”mar” de subgrupos livres para resolver o problema de Ruziewicz.

Observação 6. Generalizando a observação 5, lembramos que Auerbach mostrou que grupos de Lie G compactos e simplesmente conexos possuem muitos subgrupos livres: quase todo par de elementos A,B\in G (com respeito a medida de Haar) gera um subgrupo livre cujo fecho é G.

Uma construção explicita de um subgrupo livre de SU(2) com lacuna espectral foi feita por Lubotzky, Phillips e Sarnak (via operadores de Hecke), o que fornece uma prova alternativa do problema de Ruziewicz (como comentamos pouco antes da observação 5) no delicado caso n=2 (veja também esta nota de Hee Oh). Entretanto, esta construção deixa aberta a pergunta natural de entender a frequência de ocorrência de subgrupos livres de SO(3) e/ou SU(2) com lacuna espectral.

Neste sentido, Bourgain e Gamburd recentemente ( 2008 ) mostraram que todos os subgrupos livres de SU(2) gerados por elementos Diofantinos possuem lacuna espectral! Logo, usando a observação de Rosenblatt, os elementos Diofantinos de SO(3) podem ser usados para dar uma solução alternativa (mais simples) do problema de Ruziewicz em dimensão 2 (em vista da elaborada solução dada por Drinfeld).

Dito isto, vemos uma clara relação entre a conjectura de Gamburd, Jakobson e Sarnak acima e o problema de Ruziewicz em dimensão 2.

Por outro lado, ja dissemos que esta conjectura encontra-se aberta. Entretanto, temos um (unico) resultado parcial na direção da conjectura:

Teorema 1 (Kaloshin e Rodinianski). Quase todos os elementos g_1,\dots,g_k de SO(3) (ou SU(2)) são fracamente Diofantinos: existe uma constante D(g_1,\dots,g_k)>0 tal que toda palavra W_n de tamanho n sobre as letras g_1,g_1^{-1},\dots,g_k,g_k^{-1}

(2) \|W_n\pm E\|\geq D(g_1,\dots,g_k)^{-n^2}.

Nosso objetivo sera descrever os principais passos da prova desse teorema. Para efeitos de clareza da exposição, usaremos a observação 4 para nos restringirmos ao caso do grupo SO(3). Mais ainda, sendo o tratamento do caso de k elementos g_1,\dots,g_k identico ao caso de dois elementos (exceto talvez pela necessidade de uma notação mais complicada), consideraremos apenas a demonstração do teorema de Kaloshin e Rodnianski para dois elementos A,B\in SO(3) tipicos.

Para este post, iremos somente traçar a estrategia a ser seguida, deixando os detalhes para um proximo post. Dados dois elementos distintos A,B\in SO(3), denotamos por \alpha e \beta os ângulos de rotação de A e B (resp.), e por \gamma o ângulo entre os eixos de rotação v_A e v_B de A e B (resp.). Para nossas considerações posteriores, podemos fazer (sem perda de generalidade) a seguinte normalização: o eixo de rotação v_A de A é o eixo x em \mathbb{R}^3 e o eixo de rotação v_B de B esta contido no plano (x,y) fazendo ângulo \gamma com v_A no sentido horario. Observe que com esta convenção, toda palavra W_n(A,B) de tamanho n\geq 1 é unicamente determinada pela escolha deste sistema de coordenadas e pelos parâmetros

(\alpha,\beta,\gamma)\in \mathbb{T}_{\alpha}\times \mathbb{T}_{\beta}\times \mathbb{T}_{\gamma} = \mathbb{T}^3

Isto permite escrever W_n(A,B) = W_n(\alpha,\beta,\gamma) e considerar o toro tridimensional \mathbb{T}^3 como espaço de parâmetros o qual vem equipado com a medida de Lebesgue Leb_3. Do modo como nossos parâmetros são definidos, o leitor pode verificar que conjuntos de medida total para a medida de Haar produto \mu\times\mu em SO(3)\times SO(3) correspondem a conjuntos de medida total para Leb_3 em \mathbb{T}^3.

Neste ponto, a idéia da prova é bastante similar a demonstração de Fayad e Krikorian do teorema de hiperbolicidade de palavras desbalanceadas em SL(2,\mathbb{R}) ja discutida nestes dois posts anteriores no blog em ingles (cronologicamente falando, a prova de Fayad e Krikorian ( 2008 ) é inspirada na prova de Kaloshin e Rodnianski (2001)). Grosseiramente falando, o ponto é o seguinte argumento do tipo Borel-Cantelli: fixamos uma palavra W_n(\alpha,\beta,\gamma) de tamanho n em A, B e consideramos os parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in \mathbb{T}^3 tais que W_n(\alpha,\beta,\gamma) esta a uma distância \leq D^{-n^2} da identidade E. Denotando por m_n(D) a medida de Lebesgue Leb_3 destes parâmetros (variando sobre todas as palavras de tamanho n) para um certo D>1 fixo, o lema de Borel-Cantelli diz que nossa tarefa fica reduzida a mostrar a estimativa:

(3) \sum\limits_{n} m_n(D)<\infty.

Para provar a estimativa (3), o fato fundamental é que a representação quaterniônica (de Hamilton) dos elementos de SO(3) permite escrever a distância entre W_n(\alpha,\beta,\gamma) e E como um polinômio trigonométrico P_n(\alpha,\beta,\gamma) de grau n em \alpha,\beta,\gamma e todos os coeficientes inteiros. Fixamos \beta=\beta^*, \gamma=\gamma^* e olhamos para o conjunto de parâmetros \alpha tais que

|P_n(\alpha,\beta_*,\gamma_*)|\leq D^{-n^2}.

Por um lema elementar de Dani, Kleinbock e Margulis sobre a medida de Lebesgue do conjunto de pontos onde um dado polinômio assume valores pequenos, sabemos que

Leb_1(\{\alpha: |P_n(\alpha,\beta_*,\gamma_*)|\leq D^{-n^2}\})\lesssim D^{-n}.

Como temos 4^n palavras W_n(A,B) de tamanho n sobre as letras A,B,A^{-1},B^{-1} (no maximo), segue que

m_n(D)\leq (4/D)^n.

Isto mostra a estimativa (3) desejada (fazendo D>4), o que completaria a prova do teorema 1.

Com isto encerramos as considerações (introdutorias) deste post. No proximo encontro, iremos detalhar um pouco mais a estrategia delineada acima. O leitor desejoso de uma ”preparação” para os argumentos de Kaloshin e Rodnianski num contexto um pouco mais simples (do grupo SL(2,\mathbb{R})) é incentivado a consultar as duas notas do blog em ingles sobre o teorema de Fayad e Krikorian. Fico por aqui! Ate ja!

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