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Posts Tagged ‘L. Ahlfors’

Continuando a série de discussões “nostalgicas” (vide este post aqui) sobre temas interessantes vistos durante meu mestrado e doutorado no IMPA, falaremos hoje acerca da prova do teorema de Alhfors e Bers (também conhecido como a versão mensuravel do teorema da aplicação conforme de Riemann). A escolha deste topico tem duas razões:

  • este resultado é a pedra angular da chamada teoria de Teichmüller (a qual conta com inumeras aplicações em Analise, Geometria e Dinâmica Complexa);
  • a prova deste resultado fornecida abaixo (baseada no excelente livro “Teichmüller Theory, vol.1” de John Hubbard) mostra dois principios matematicos extremamente importantes: a técnica de complexificação de um problema envolvendo objetos analiticos reais e a redução de EDPs particulares em EDOs.

De fato, até pouco tempo atras, a unica prova que eu conhecia do teorema de Alhfors e Bers era a demonstração original (exposta no livro “Lectures on Quasiconformal Mappings” de L. Alhfors) baseada em uma analise refinada de uma EDP conhecida como “equação de Beltrami”. Enquanto que a prova original fornece mais informações ao fim do argumento, eu acredito que um resultado desse calibre deveria ter uma demonstração mais simples (mesmo sacrificando os fatos extras) para que possamos apreciar melhor o seu conteudo. Felizmente, por acaso, eu cruzei com o livro de John Hubbard onde uma prova simples é oferecida. Logicamente, os fatos técnicos obtidos por L. Ahlfors no curso de sua exposição certamente possuem varias aplicações (e por isso ela deve ser lida ao menos uma vez), mas essa prova mais simples possui as qualidades da brevidade e elegância, além dela se apoiar sobre dois principios fundamentais em Matematica (por isso ela é bem instrutiva).

Para fechar esta introdução, deixe-me lembrar que esses dois principios indicados acima (complexificação e redução de EDPs a EDOs) são ferramente uteis em diversos ramos da Matematica: por exemplo, a técnica de complexificação foi utilizada em dinâmica para entender a familia quadratica (a qual vista do ponto de vista real apresenta um comportamento intrincado, o qual so e propriamente apos uma complexificação levando ao conjunto de Mandelbrot) e a redução de EDPs a EDOs permite encontrar os chamados “solitons” para certas EDPs oriundas da Fisica.

Enunciado e motivação do teorema de Ahlfors e Bers

Durante os cursos de Analise Complexa normalmente encontramos (como um dos topicos do final da disciplina) o teorema da aplicação conforme de Riemann:

Teorema da aplicação conforme de Riemann. Seja U\subset\mathbb{C} um dominio aberto simplesmente conexo, U\neq\mathbb{C}. Então, existe uma aplicação biholomorfa f:U\to\mathbb{D} entre U e o disco unitario \mathbb{D}. Mais ainda, a aplicação f é “unica” no seguinte sentido: qualquer outro biholomorfismo g:U\to\mathbb{D} pode ser obtido de f por composição com uma transformação de Möbius h:\mathbb{D}\to\mathbb{D}, i.e., g=h\circ f.

Em outras palavras, este teorema de Riemann diz que o disco unitario \mathbb{D} é “moralmente” o unico dominio simplesmente conexo propriamente contido em \mathbb{C} (a menos de biholomorfismos).

Algum tempo mais tarde, vemos nos cursos de superficies de Riemann a seguinte “continuação” (altamente não trivial) do teorema da aplicação de Riemann:

Teorema de Uniformização de Riemann. Toda superficie de Riemann M simplesmente conexa é biholomorfa a um (e somente um) dos seguintes modelos:

  • a esfera de Riemann \overline{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup\{\infty\},
  • o plano complexo \mathbb{C} ou
  • o disco unitario \mathbb{D}.

Vagamente falando, uma prova (analitica) do teorema de uniformização (devida a Koebe e Poincaré) consiste em mostrar que uma superficie de Riemann M simplesmente conexa e biholomorficamente distinta de \overline{\mathbb{C}} e \mathbb{C} admite uma aplicação holomorfa injetiva M\to \mathbb{C} (i.e., M pode ser mergulhada dentro do plano complexo). Basicamente isso envolve argumentos intricados de analise de EDPs (em particular, o estudo de funções harmonicas, estimativas de Harnack, o principio de Perron para sub e super soluções, etc.).  Em seguida, o teorema de uniformização é obtido do teorema da aplicação conforme: com efeito, a imagem de M dentro de \mathbb{C} é um dominio aberto simplesmente conexo diferente de todo o plano, de modo que ele é biholomorfo ao disco unitario. Mais recentemente, uma prova utilizando o famoso fluxo de Ricci foi encontrada por X. Chen, P. Li e G. Tian.

O teorema de uniformização permite concluir que toda superficie de Riemann é o quociente de um dos três modelos acima por um subgrupo discreto de automorfismos. Entretanto, isso esta longe de responder todas as perguntas sobre todas as possiveis superficies de Riemann (a menos de isomorfismos). Com o intuito de estudar as diferentes estruturas superficies de Riemann dentro de uma mesma superficie topologica (i.e., o estudo do espaço de superficies de Riemann modulo biholormofismos [dito espaço de moduli]) naturalmente somos conduzidos ao conceito de aplicações quase-conformes:

Definição. Um homeomorfismo f:M\to N entre duas superficies de Riemann M e N é dito quase-conforme se ele possui derivadas parciais (no sentido das distribuições) em L^2 e, para algum 0\leq k< 1,  a seguinte relação é satisfeita em quase todo ponto:

\left|\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\right|\leq k \left|\frac{\partial f}{\partial z}\right|.

Neste caso, dizemos que f é K-quase-conforme com constante K=(1+k)/(1-k). A menor constante K para a qual a desigualdade acima vale é dita a constante de quasiconformalidade de f e denotada por K(f).

Observação. Pode-se ver que a relação acima mostra que a derivada de f envia elipses de excentricidade \leq K(f) em circulos. Em particular, quando a constante de quasiconformalidade K(f) é 1, vemos que a derivada de f envia circulos em circulos, ou seja , Df é uma aplicação conforme. Isso justifica a denominação “constante de quasiconformalidade” para K(f): quanto proximo de 1 for K(f), mais proximo de ser conforme (holomorfo) f sera.

Nesse ponto, estamos aptos para enunciar o teorema de Alhfors e Bers:

Teorema de Alhfors e Bers. Dados U\subset\mathbb{C} e \mu\in L^\infty (U) com \|\mu\|_{\infty}<1, podemos encontrar um homeomorfismo quase-conforme f:U\to\mathbb{C} tal que a equação de Beltrami é satisfeita:

\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\mu\frac{\partial f}{\partial z}.

Mais ainda, f é unica modulo biholomorfismos: dada qualquer outra solução g:U\to\mathbb{C} da equação acima, existe \phi:f(U)\to\mathbb{C} função holomorfa injetiva tal que g=\phi\circ f.

Antes de entrar na prova deste resultado, vamos comentar sobre a importância deste teorema: como ja antecipamos, este teorema é a peça fundamental quando tentamos comparar duas superficies de Riemann distintas. De fato, logicamente que dada uma aplicação entre duas superficies de Riemann, temos \mu da equação de Beltrami. O teorema de Alhfors e Bers garante (apos algum esforço) que a “reciproca” é verdadeira: dado \mu em uma superficie de Riemann X, podemos “fabricar” uma outra superficie X_{\mu} e uma aplicação quaseconforme f_\mu:X\to X_\mu de maneira que a equação de Beltrami é satisfeita (e, mais ainda, f_\mu é unica a menos de composições com biholomorfismos). Dito de outro modo, este teorema fornece uma relação estreita entre superficies de Riemann e coeficientes de Beltrami \mu.

Agora, vamos passar para a prova deste teorema.

Prova do teorema de Ahlfors-Bers. A idéia é bem simples: ao invés de encarar uma EDP (a equação de Beltrami), veremos que ela pode ser transformada numa EDO (o qual é um objeto mais tratavel), ao menos no caso em que \mu é uma função analitica real. Mais precisamente, olhando para a variavel complexa z=(x,y), ao invés de olhar somente para x,y reais, pensaremos que x,y são também variaveis complexas (i.e., trocamos \mathbb{C} por \mathbb{C}^2). Sendo \mu analitica real, podemos usar sua expressão em série de potências para ver que \mu(x,y) fica bem definido mesmo quando x,y são complexos, de modo que a EDP inicial (a equação de Beltrami):

\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\mu\frac{\partial f}{\partial z}

se torna a seguinte EDO em um aberto W de \mathbb{C}^2:

(1) (1-\mu(x,y))\frac{\partial f}{\partial x}+i(1+\mu(x,y))\frac{\partial f}{\partial y}=0.

O “truque” (devido a Gauss) é observar que toda solução da EDO acima é constante nas curvas dadas pela EDO:

(2) \frac{\partial y}{\partial x}=i\frac{1+\mu}{1-\mu}.

Dito de outro modo, a EDO acima da as curvas de nivel de f verificando a equação de Beltrami. Para fazer uma escolha de f (dentre as varias possiveis), iremos fixar a transversal \{x=x_0\} com respeito a soluções de (2) (por que essa linha complexa é realmente transversal? [exercicio]) e impor que f(x_0,y)=y (fazendo a extensão de f colocando o valor aquedado nas curvas integrais de (2) de acordo com o valor na transversal). Com isso, obtemos uma solução da equação de Beltrami tal que

\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=1

e, a fortiori, pela equação (1),

\frac{\partial f}{\partial x} = -i\frac{1+\mu(x_0,y_0)}{1-\mu(x_0,y_0)}.

Note que a expressão acima implica que \partial f/\partial x não é um numero real (porque sua parte imaginaria é -(1+|z|^2)/(|1-z|^2)\neq 0), de maneira que o teorema da função implicita diz que f define um difeomorfismo local entre W\cap \mathbb{R}^2 e \mathbb{C} perto de (x_0,y_0). Mais ainda, dada qualquer outra solução da equação de Beltrami g, escrevendo g(x_0,y):=h(y), segue que g=h\circ f. Isto prova o teorema de Alhfors e Bers no caso em que \mu é real analitica.

No caso geral, a prova é completada por um argumento padrão de regularização. Como o problema é local, suporemos que \mu\in L^\infty(\mathbb{D}) vive no disco unitario \mathbb{D}. Escolha \eta_\epsilon a sua familia (analitica real) preferida de aproximações da identidade (digamos \eta_\epsilon(z) = \frac{1}{\pi\epsilon^2} e^{-|z|^2/\epsilon^2}) e considere \mu_\epsilon = \eta_\epsilon*\mu. Note que \|\mu_\epsilon\|_{\infty}\leq \|\mu\|_{\infty}:=k<1 e \mu_\epsilon converge em L^1 para \mu. Por outro lado, as soluções f_\epsilon da equação de Beltrami

(3) \frac{\partial f_\epsilon}{\partial \overline{z}}=\mu_\epsilon\frac{\partial f}{\partial z}

fornecem aplicações injetivas f_\epsilon:\mathbb{D}\to\mathbb{C}. Denote por \mathbb{D}_\epsilon:= f_\epsilon(\mathbb{D}) a imagem de \mathbb{D} por f_\epsilon. Pelo teorema de uniformização (ou pelo teorema da aplicação conforme de Riemann ja que \mathbb{D}_\epsilon é um dominio simplesmente conexo distinto de \mathbb{C}), podemos compor f_\epsilon com uma aplicação conforme g_\epsilon: \mathbb{D}_\epsilon\to \mathbb{D} caso necessario e supor que a solução da equação de Beltrami  (3) verifica também f_\epsilon(0)=0.

Neste ponto, temos uma familia f_\epsilon de aplicações K-quase-conformes com K=(1+k)/(1-k) tais que f_\epsilon(0)=0.  Por um teorema de compacidade bem-conhecido (veja o corollary 4.4.3 do livro de J. Hubbard), podemos extrair uma subsequência convergente f_{\epsilon_n} (uniformemente em compactos) cujo limite é uma aplicação K-quase-conforme f. Mais ainda, as derivadas distribucionais de f_{\epsilon_n} convergem em L^2 para as derivadas de f. Colocando essa informação na equação (3) e passando ao limite, vemos que f satisfaz a equação:

\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\mu\frac{\partial f}{\partial z}.

Aqui estamos utilizando o seguinte fato elementar (veja o lemma 4.6.3 do livro de J. Hubbard) com u_n=\frac{\partial f_{\epsilon_n}}{\partial \overline{z}}, u=\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}, v_n=\frac{\partial f_{\epsilon_n}}{\partial z}, v=\frac{\partial f}{\partial z} e \mu_n=\mu_{\epsilon_n}:

Lema. Sejam u_n e v_n duas sequências em L^2_{loc} convergindo fracamente para u e v, e \mu_n uma sequência limitada em L^\infty convergindo em L^1 para \mu. Então, u_n = \mu_n v_n para todo n\in\mathbb{N} implica u=\mu v.

Com isso, a prova do teorema de Alhfors e Bers fica terminada. \square

Para finalizar este post, observaremos que este teorema pode ser generalizado para dimensões maiores (teorema de Newlander-Nirenberg). Entretanto, não o farei aqui pelo simples motivo de que a utilidade dessa generalização não é tão poderosa quanto o caso de dimensão 1 (complexa): com efeito, existe uma questão de integrabilidade a qual é automatica em dimensão 1 mas não-trivial em dimensão superior.

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