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Archive for agosto \07\UTC 2008

Lembramos que o teorema de Kaloshin e Rodnianski é:

Teorema. Dois elementos genéricos (no sentido da medida de Haar) A,B\in SO(3) são fracamente Diofantinos no seguinte sentido: existe uma constante D=D(A,B)>0 tal que

\|W_n(A,B)-E\|\geq D^{-n^2}

para toda W_n(A,B) palavra de tamanho n nas letras A,B.

Conforme adiantamos no post anterior, vamos utilizar a seguinte notação: dados A,B\in SO(3), denotamos por \alpha,\beta os ângulos de rotação de A,B e \gamma o ângulo entre os eixos de rotação v_A,v_B de A,B. Sem perda de generalidade, iremos assumir que A esta normalizada de maneira que v_A é o eixo OX em \mathbb{R}^3. No mais, denotaremos as palavras W_n(A,B) por W_n(\alpha,\beta,\gamma). Para trabalhar melhor com as palavras de um dado tamanho, introduzimos multi-indices \mathcal{I}_m=(s_1,r_1,\dots,s_m,r_m) onde s_1 e r_m podem ser zero mas os outros 2m-2 inteiros são todos não-nulos. O tamanho |\mathcal{I}_m| do multi-indice \mathcal{I}_m é |\mathcal{I}_m|=\sum_p(|s_p|+r_p). A palavra W_{\mathcal{I}_m}(A,B) parametrizada por \mathcal{I}_m é

W_{\mathcal{I}_m}(A,B)=A^{s_1}B^{r_1}\dots A^{s_m}B^{s_m}.

Com esta notação e utilizando o fato da medida de Haar \mu\times\mu em SO(3)\times SO(3) ser equivalente a medida de Lebesgue Leb_3 no espaço de parâmetros (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3, vemos que o teorema de Kaloshin e Rodnianski equivale à:

Teorema. Para Leb_3 quase todo (\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3, existe uma constante D=D(\alpha,\beta,\gamma)>0 tal que

\min\limits_{|\mathcal{I}_m|=n}\|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|\geq D^{-n^2} para todo n\geq 1.

Dada uma constante D>0, defina

\Phi_{\mathcal{I}_m}(D)=\{(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3: \|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|\geq D^{-n^2}\}

e

\Phi_n(D)=\bigcup\limits_{|\mathcal{I}_m|=n}\Phi_{\mathcal{I}_m}(D).

Como ja antecipamos na discussão anterior, um argumento simples usando o lema de Borel-Cantelli mostra que o teorema acima é uma consequência do seguinte fato:

Teorema 1. Existe uma constante D^*>0 tal que

\sum\limits_{n=1}^{\infty}Leb_3(\Phi_n(D^*))<\infty.

No que se segue, iremos nos concentrar na prova do teorema 1. Para isso, adotaremos a seguinte estratégia:

  • a idéia basica seria utilizar a representação quarteniônica de SO(3) para escrever \|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|^2 como um polinômio trigonométrico (e usar os lemas classicos de Dani, Kleinbock e Margulis para estimar o tamanho da vizinhança dos zeros destes polinômios); entretanto, por motivos técnicos, procederemos como nos dois passos abaixo;
  • veremos que estimar Leb_3(\Phi_n(D^*)) corresponde moralmente a estudar o tamanho do conjunto dos parâmetros (\alpha,\beta,\gamma) onde a derivada \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) da palavra W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) com relação a variavel \alpha é pequena;
  • em seguida, estimamos o conjunto destes parâmetros usando a representação quarteniônica de SO(3) para estimar \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) (o que sera tecnicamente mais simples).

Redução do teorema 1 ao estudo da derivada \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}

Defina \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D)=\{(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3: \|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq D^{-2n^2/3}\}. Para comparar as medidas de Lebesgue de \Phi_{\mathcal{I}_m}(D) e \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D), precisaremos do seguinte lema:

Lema 1. \|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq |\mathcal{I}_m|^4.

Prova. Os elementos de SO(3) podem ser escritos em representação quaterniônica como

q=\cos\theta + \sin\theta\cdot(iv_1+jv_2+kv_3)

onde \theta é o ângulo de rotação e (v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3 é o eixo de rotação. Nesta representação, temos

\begin{array}{l}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) = \\(\cos(s_1\alpha)+i\sin(s_1\alpha)) (\cos(r_1\beta)+\sin(s_1\beta)(i\cos\gamma+j\sin\gamma))\dots \\ (\cos(s_m\alpha)+i\sin(s_m\alpha)) (\cos(r_m\beta)+\sin(s_m\beta)(i\cos\gamma+j\sin\gamma))\end{array}.

Derivando duas vezes em \alpha, obtemos

\|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq \left(\sum\limits_{p=1}^m|s_p|\right)^4\leq |\mathcal{I}_m|^4.

Isto encerra a prova do lema 1. \square

Com este lema em mãos, podemos mostrar sem dificuldades o seguinte fato:

Lema 2. Dado \mathcal{I}_m um multi-indice de tamanho |\mathcal{I}_m|=n, temos

Leb_3(\Phi_{\mathcal{I}_m}(D))\leq Leb_3(\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D))+ 4n^4D^{-n^2/3}.

Prova. Dado (\alpha^*,\beta,\gamma)\notin\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D), vemos da definição de \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D) e do lema 1

\|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha^*,\beta,\gamma)\|^2\geq D^{-2n^2/3} \quad \textrm{ e } \quad \|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha^*,\beta,\gamma)\|^2\leq n^4.

Em seguida, dividimos o circulo \mathbb{T}_{\alpha} em 2D^{n^2/3}/n^4 intervalos de tamanhos iguais e denotamos por I o intervalo contendo \alpha^*. As estimativas acima e o teorema de Taylor implicam que

\|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\geq \frac{D^{-n^2/3}}{2}.

Logo, obtemos que a medida de Lebesgue do conjunto dos \alpha\in I tais que (\alpha,\beta,\gamma)\notin\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D) é 2D^{-2n^2/3}. Juntando estas estimativas sobre todos os n^4/2D^{n^2/3} intervalos I e usando o teorema de Fubini, temos a prova do lema. \square

A derivada \partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m} como um polinômio trigonométrico

Lema 3. Cada palavra W_{\mathcal{I}_m} de tamanho n=|\mathcal{I}_m| esta associada a um polinômio P_{\mathcal{I}_m}(x_{\alpha},y_{\alpha},x_{\beta},y_{\beta},x_{\gamma},y_{\gamma}) de grau 2n+2m com coeficientes inteiros tal que

\|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2 = P_{\mathcal{I}_m}(\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta,\cos\gamma,\sin\gamma).

Prova. Isso segue de um calculo explicito usando a representação quaterniônica para W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) (veja a prova do lema 1). \square

Como ja comentamos, a proxima etapa consiste em utilizar a informação do lema acima para estimar o tamanho do conjunto \Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D). Mais precisamente, temos o seguinte teorema:

Teorema 2. Existe uma constante D^* tal que

\textrm{Leb}_3(\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D^*))\leq 5^{-n}

para todo multi-indice \mathcal{I}_m de tamanho n=|\mathcal{I}_m| suficientemente grande.

Antes de entrar nos detalhes do teorema 2, vejamos que o teorema 1 segue do teorema 2.

Prova do teorema 1 (assumindo o teorema 2). Observamos que o numero de palavras de tamanho n é 4^n. Portanto, o teorema 2 e o lema 2 dizem que

\textrm{Leb}_3(\Phi_n(D^*))\leq (4/5)^n + 4n^4(D^*)^{-n^2/3}

para todo n grande. Em particular, o resultado de somabilidade desejado segue. \square

Para encerrar o post de hoje, vamos fazer um esquema da prova do teorema 2 na proxima seção.

Estimativas para polinômios e eliminação de variaveis

Lembramos ao leitor do seguinte lema de estimativa de polinômios em uma variavel:

Lema 4 (Dani, Kleinbock e Margulis). Seja P(x) um polinômio real de grau \leq n e denote por \|P\|_{I}:=\max\limits_{x\in I} |P(x)|. Então, para todo I intervalo compacto e todo \varepsilon>0, temos

\textrm{Leb}_1(x\in I: |P(x)|\leq\varepsilon)\leq 2n(n+1)^{1/n}(\varepsilon/\|P\|_I)^{1/n} |I|.

A prova deste resultado usa interpolação de Lagrange ao longo de um conjunto de pontos bem-escolhidos. O leitor curioso por mais detalhes pode ver a (curta) demonstração do lemma 2 do meu post em ingles sobre o teorema de Fayad e Krikorian (cuja prova é, por sua vez, baseada nestes argumentos de Kaloshin e Rodnianski).

Logicamente, o lema 4 não pode ser aplicado diretamente ao nosso caso porque nossos polinômios P_{\mathcal{I}_m} possuem varias variaveis (as quais possuem relações entre elas). Entretanto, esta dificuldade técnica pode ser contornada através do método de eliminação de variaveis. Para explicar como este método funciona, consideramos F(x,y), G(x,y) dois polinômios em duas variaveis x,y. O estudo dos zeros comuns de F, G pode ser reduzido ao estudo dos zeros de um polinômio em uma variavel do seguinte modo: fixando x_0, sabemos dos cursos de Algebra que a existência de raizes comuns y de F(x_0,y), G(x_0,y) é completamente determinada pelo anulamento do polinômio resultante R[F,G](x_0)=0 (o qual depende apenas da variavel x). Ou seja, a questão de entender zeros comuns de polinômios com duas variaveis pode ser reduzida ao problema de entender os zeros de um polinômio de uma variavel (com grau ligeiramente maior). Logicamente que para a aplicação desta idéia no contexto do lema 4, precisamos de versões quantitativas do método de eliminação de variaveis. Felizmente, isso foi feito por Kaloshin e Rodnianski no lema 6 do artigo. Entretanto, para fazer o método funcionar no nosso caso é necessario acompanhar todas as constantes e graus dos polinômios envolvidos na eliminação, o que é um trabalho técnico que não pode ser descrito em detalhes em um post. Porém, podemos dar uma idéia geral de como o processo ocorre.

Pelo lema 3, a prova do teorema 2 fica reduzida a uma estimativa do tamanho de conjuntos da forma

\{(\alpha,\beta,\gamma):|P_{\mathcal{I}_m}(\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta,\cos\gamma, \sin\gamma)|\leq \varepsilon\}.

Com esse intuito, notamos que, fazendo x_{\theta}=\cos\theta e y_{\theta}=\sin\theta, essa tarefa essencialmente equivale a estudar o conjunto de soluções comuns para as equações polinomiais

P_{\mathcal{I}_m}(x_{\alpha},y_{\alpha},x_{\beta},y_{\beta},x_{\gamma}, y_{\gamma})-\varepsilon=0

e

x_{\alpha}^2+y_{\alpha}^2-1=0, \quad x_{\beta}^2+y_{\beta}^2-1=0, \quad x_{\gamma}^2+y_{\gamma}^2-1=0.

Em seguida, aplicamos o método de eliminação de variaveis três vezes na seguinte ordem: primeiro eliminamos a variavel y_{\alpha} através do polinômio resultando R entre P_{\mathcal{I}_m} e x_{\alpha}^2+y_{\alpha}^2-1; depois, eliminamos (de modo analogo ao anterior) y_{\beta} através da resultante R_1 entre R e x_{\beta}^2+y_{\beta}^2-1=0; finalmente, eliminamos y_{\gamma} obtendo um polinômio R_2.

Para justificar porque a eliminação fornece boas estimativas, precisamos saber
que R_2 é um polinômio não-degenerado (i.e., R_2 não é identicamente nulo). No nosso caso, o processo de eliminação nunca é degenerado porque a resultante entre P_{\mathcal{I}_m} e x^2+y^2-1 identicamente nula implicaria que a função W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) é degenerada (i.e., constante). Entretanto, desde os trabalhos de Hausdorff no paradoxo de Banach-Tarski, sabemos que elementos genéricos de SO(3) geram um grupo livre, de modo que a função W_{\mathcal{I}_m} não pode ser constante (isto pode ser visto diretamente da representação quarteniônica: veja o lemma 2 de Kaloshin e Rodnianski).

Com isso, o esquema da prova do teorema 2 esta terminado! Ate mais!

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