A desigualdade e a conjectura de Bieberbach

Durante meu curso de Analise Complexa no mestrado do IMPA (com o saudoso professor Carlos Isnard), um topico que sempre me fascinou foi a teoria de funções univalentes (e em especial o belissimo teorema de unifromização de Riemann). No post de hoje, eu pretendo falar de um topico não mencionado durante o curso do prof. Isnard (por falta de tempo e em detrimento do teorema de uniformização), a saber, a desigualdade de Bieberbach e o teorema 1/4 de Koebe.

-A desigualdade de Bieberbach-

Teorema (Bieberbach). Seja um biholomorfismo entre o disco unitario e um dominio aberto . Escreva a serie de Taylor de como

.

Então, . Mais ainda, a igualdade ocorre se e somente se é uma semi-reta fechada apontando para .

Observação Historica. Motivado por este resultado, Bieberbach conjecturou que para todo . Note que a igualdade nessa conjectura (e a fortiori no teorema) é atingida por

onde . Atualmente, esta conjectura é um teorema devido ao (dificil) trabalho de Louis de Branges (apos os esforços de diversos matematicos dentre eles C. Löwner o qual criou a chamada equação de Löwner, uma ferramenta que veio a ser decisiva em um ramo da probabilidade chamado teoria da percolação, para mostrar que ). O trabalho de de Branges utiliza a teoria de Hilbert de funções holomorfas (além da equação de Löwner).

A prova do teorema de Bieberbach é bem simples uma vez que saibamos a seguinte estimativa:

Lema 1 (estimativa de area de Gronwall). Seja um biholomorfismo entre o complementar do disco unitario e o complementar do compacto conexo . Assuma que tem série de Laurent

Então, a area de é dada pela formula:

.

Uma consequência direta interessante deste lema é:

Corolario 1 (Gronwall). Nas condições do lema 1, temos . Mais ainda, a igualdade ocorre se e so se é um segmento de reta.

Prova do corolario 1. Como , o lema 1 implica que . Em particular, . Por outro lado, a igualdade ocorre se e so se os coeficientes restantes da serie de Laurent são todos nulos:

.

Fazendo uma rotação na coordenada e uma mudança linear de coordenadas em (se necessario), podemos reduzir a série de Laurent de a , uma transformação levando no segmento de reta .

Por enquanto, vamos assumir o lema 1 e provar o teorema de Bieberbach:

Prova do teorema de Bieberbach. A menos de trocar por , podemos assumir que e (i.e., e ). Agora fazemos e , de maneira que cada ponto (resp. ) corresponde a dois pontos (resp. ). Calculando a série de Laurent de em termos de e , temos

Esta aplicação leva biholomorficamente numa vizinhaça simétrica do infinito. Pelo corolario 1, vemos que , i.e., ). Além disso, o corolario 1 diz que a igualdade ocorre se e so se é o complementar de um segmento de reta (o qual deve estar centrado na origem por simetria de ). Expressando isso em termos das coordenadas e iniciais, temos que é o complementar de uma semi-reta fechada apontando para .

-Prova do lema 1 (estimativa de area de Gronwall)-

A idéia aqui é bem simples: para cada , a imagem do circulo de raio por sera uma curva em limitando uma região de area contendo de modo que . Portanto, nosso trabalho consiste em calcular . Isto pode ser feito utilizando a formula de Green:

onde e a integração é feita na imagem por de . Substituindo a série de Laurent com na formula acima, obtemos

.

Como a integral acima é não-nula (e igual a ) se e so se , segue que

.

Fazendo , o lema 1 fica provado.

-O teorema 1/4 de Koebe-

Para encerrar este post, daremos a prova do importante (em dinamica complexa p. ex.) teorema 1/4 de Koebe como uma aplicação do teorema de Bieberbach.

Teorema (1/4 de Koebe). Seja um biholomorfismo entre o disco unitario e um aberto . Então, a distância entre e o bordo de satisfaz a estimativa

.

Além disso, a igualdade ocorre se e so se é uma semi-reta apontando para e a igualdade ocorre se e so se é um disco centrado em .

Um corolario imediato muito interessante (para a dinâmica complexa) é o seguinte fato:

Corolario 2. Dada uma função holomorfa univalente (i.e., injetiva) com e , então o aberto contém o disco de raio centrado na origem.

Prova do teorema 1/4 de Koebe. Trocando por , podemos supor que e . Fixe um ponto do bordo realizando a distância entre e a origem . Nosso objetivo é mostrar que

.

Compondo com a transformação de Möbius (enviando para o infinito), obtemos uma transformação holomorfa univalente em da forma

Pelo teorema de Bieberbach (aplicado para e ), e . Logo, , i.e., . Mais ainda, a igualdade ocorre se e so se e . Pelo teorema de Bieberbach, implica que é o complementar de uma semi-reta fechada apontando para . Com isto mostramos a primeira parte do teorema de Koebe.

A segunda parte deste teorema é uma consequência do teorema de Schwarz: supondo que , segue que a transformação inversa envia dentro de si mesmo, e sua derivada na origem é . Por Schwarz, é a identidade (donde e é o disco unitario centrado na origem).