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Algumas ideias da prova do teorema de Kaloshin e Rodnianski

Agosto 7, 2008 por matheuscmss

Lembramos que o teorema de Kaloshin e Rodnianski é:

Teorema. Dois elementos genéricos (no sentido da medida de Haar) $A,B\in SO(3)$ são fracamente Diofantinos no seguinte sentido: existe uma constante $D=D(A,B)>0$ tal que

$\|W_n(A,B)-E\|\geq D^{-n^2}$

para toda $W_n(A,B)$ palavra de tamanho $n$ nas letras $A,B$ .

Conforme adiantamos no post anterior, vamos utilizar a seguinte notação: dados $A,B\in SO(3)$ , denotamos por $\alpha,\beta$ os ângulos de rotação de $A,B$ e $\gamma$ o ângulo entre os eixos de rotação $v_A,v_B$ de $A,B$ . Sem perda de generalidade, iremos assumir que $A$ esta normalizada de maneira que $v_A$ é o eixo $OX$ em $\mathbb{R}^3$ . No mais, denotaremos as palavras $W_n(A,B)$ por $W_n(\alpha,\beta,\gamma)$ . Para trabalhar melhor com as palavras de um dado tamanho, introduzimos multi-indices $\mathcal{I}_m=(s_1,r_1,\dots,s_m,r_m)$ onde $s_1$ e $r_m$ podem ser zero mas os outros $2m-2$ inteiros são todos não-nulos. O tamanho $|\mathcal{I}_m|$ do multi-indice $\mathcal{I}_m$ é $|\mathcal{I}_m|=\sum_p(|s_p|+r_p)$ . A palavra $W_{\mathcal{I}_m}(A,B)$ parametrizada por $\mathcal{I}_m$ é

$W_{\mathcal{I}_m}(A,B)=A^{s_1}B^{r_1}\dots A^{s_m}B^{s_m}$ .

Com esta notação e utilizando o fato da medida de Haar $\mu\times\mu$ em $SO(3)\times SO(3)$ ser equivalente a medida de Lebesgue $Leb_3$ no espaço de parâmetros $(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3$ , vemos que o teorema de Kaloshin e Rodnianski equivale à:

Teorema. Para $Leb_3$ quase todo $(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3$ , existe uma constante $D=D(\alpha,\beta,\gamma)>0$ tal que

$\min\limits_{|\mathcal{I}_m|=n}\|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|\geq D^{-n^2}$ para todo $n\geq 1$ .

Dada uma constante $D>0$ , defina

$\Phi_{\mathcal{I}_m}(D)=\{(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3: \|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|\geq D^{-n^2}\}$

$\Phi_n(D)=\bigcup\limits_{|\mathcal{I}_m|=n}\Phi_{\mathcal{I}_m}(D)$ .

Como ja antecipamos na discussão anterior, um argumento simples usando o lema de Borel-Cantelli mostra que o teorema acima é uma consequência do seguinte fato:

Teorema 1. Existe uma constante $D^*>0$ tal que

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}Leb_3(\Phi_n(D^*))<\infty$ .

No que se segue, iremos nos concentrar na prova do teorema 1. Para isso, adotaremos a seguinte estratégia:

a idéia basica seria utilizar a representação quarteniônica de $SO(3)$ para escrever $\|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)-E\|^2$ como um polinômio trigonométrico (e usar os lemas classicos de Dani, Kleinbock e Margulis para estimar o tamanho da vizinhança dos zeros destes polinômios); entretanto, por motivos técnicos, procederemos como nos dois passos abaixo;
veremos que estimar $Leb_3(\Phi_n(D^*))$ corresponde moralmente a estudar o tamanho do conjunto dos parâmetros $(\alpha,\beta,\gamma)$ onde a derivada $\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)$ da palavra $W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)$ com relação a variavel $\alpha$ é pequena;
em seguida, estimamos o conjunto destes parâmetros usando a representação quarteniônica de $SO(3)$ para estimar $\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)$ (o que sera tecnicamente mais simples).

-Redução do teorema 1 ao estudo da derivada $\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}$ -

Defina $\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D)=\{(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{T}^3: \|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq D^{-2n^2/3}\}$ . Para comparar as medidas de Lebesgue de $\Phi_{\mathcal{I}_m}(D)$ e $\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D)$ , precisaremos do seguinte lema:

Lema 1. $\|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq |\mathcal{I}_m|^4.$

Prova. Os elementos de $SO(3)$ podem ser escritos em representação quaterniônica como

$q=\cos\theta + \sin\theta\cdot(iv_1+jv_2+kv_3)$

onde $\theta$ é o ângulo de rotação e $(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3$ é o eixo de rotação. Nesta representação, temos

$\begin{array}{l}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma) = \\(\cos(s_1\alpha)+i\sin(s_1\alpha)) (\cos(r_1\beta)+\sin(s_1\beta)(i\cos\gamma+j\sin\gamma))\dots \\ (\cos(s_m\alpha)+i\sin(s_m\alpha)) (\cos(r_m\beta)+\sin(s_m\beta)(i\cos\gamma+j\sin\gamma))\end{array}$ .

Derivando duas vezes em $\alpha$ , obtemos

$\|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\leq \left(\sum\limits_{p=1}^m|s_p|\right)^4\leq |\mathcal{I}_m|^4$ .

Isto encerra a prova do lema 1. $\square$

Com este lema em mãos, podemos mostrar sem dificuldades o seguinte fato:

Lema 2. Dado $\mathcal{I}_m$ um multi-indice de tamanho $|\mathcal{I}_m|=n$ , temos

$Leb_3(\Phi_{\mathcal{I}_m}(D))\leq Leb_3(\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D))+ 4n^4D^{-n^2/3}$ .

Prova. Dado $(\alpha^*,\beta,\gamma)\notin\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D)$ , vemos da definição de $\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D)$ e do lema 1

$\|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha^*,\beta,\gamma)\|^2\geq D^{-2n^2/3} \quad \textrm{ e } \quad \|\partial_{\alpha\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha^*,\beta,\gamma)\|^2\leq n^4$ .

Em seguida, dividimos o circulo $\mathbb{T}_{\alpha}$ em $2D^{n^2/3}/n^4$ intervalos de tamanhos iguais e denotamos por $I$ o intervalo contendo $\alpha^*$ . As estimativas acima e o teorema de Taylor implicam que

$\|W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2\geq \frac{D^{-n^2/3}}{2}$ .

Logo, obtemos que a medida de Lebesgue do conjunto dos $\alpha\in I$ tais que $(\alpha,\beta,\gamma)\notin\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D)$ é $2D^{-2n^2/3}$ . Juntando estas estimativas sobre todos os $n^4/2D^{n^2/3}$ intervalos $I$ e usando o teorema de Fubini, temos a prova do lema. $\square$

-A derivada $\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}$ como um polinômio trigonométrico-

Lema 3. Cada palavra $W_{\mathcal{I}_m}$ de tamanho $n=|\mathcal{I}_m|$ esta associada a um polinômio $P_{\mathcal{I}_m}(x_{\alpha},y_{\alpha},x_{\beta},y_{\beta},x_{\gamma},y_{\gamma})$ de grau $2n+2m$ com coeficientes inteiros tal que

$\|\partial_{\alpha}W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)\|^2 = P_{\mathcal{I}_m}(\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta,\cos\gamma,\sin\gamma)$ .

Prova. Isso segue de um calculo explicito usando a representação quaterniônica para $W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)$ (veja a prova do lema 1). $\square$

Como ja comentamos, a proxima etapa consiste em utilizar a informação do lema acima para estimar o tamanho do conjunto $\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D)$ . Mais precisamente, temos o seguinte teorema:

Teorema 2. Existe uma constante $D^*$ tal que

$\textrm{Leb}_3(\Phi_{\mathcal{I}_m,\alpha}(D^*))\leq 5^{-n}$

para todo multi-indice $\mathcal{I}_m$ de tamanho $n=|\mathcal{I}_m|$ suficientemente grande.

Antes de entrar nos detalhes do teorema 2, vejamos que o teorema 1 segue do teorema 2.

Prova do teorema 1 (assumindo o teorema 2). Observamos que o numero de palavras de tamanho $n$ é $4^n$ . Portanto, o teorema 2 e o lema 2 dizem que

$\textrm{Leb}_3(\Phi_n(D^*))\leq (4/5)^n + 4n^4(D^*)^{-n^2/3}$

para todo $n$ grande. Em particular, o resultado de somabilidade desejado segue. $\square$

Para encerrar o post de hoje, vamos fazer um esquema da prova do teorema 2 na proxima seção.

-Estimativas para polinômios e eliminação de variaveis-

Lembramos ao leitor do seguinte lema de estimativa de polinômios em uma variavel:

Lema 4 (Dani, Kleinbock e Margulis). Seja $P(x)$ um polinômio real de grau $\leq n$ e denote por $\|P\|_{I}:=\max\limits_{x\in I} |P(x)|$ . Então, para todo $I$ intervalo compacto e todo $\varepsilon>0$ , temos

$\textrm{Leb}_1(x\in I: |P(x)|\leq\varepsilon)\leq 2n(n+1)^{1/n}(\varepsilon/\|P\|_I)^{1/n} |I|.$

A prova deste resultado usa interpolação de Lagrange ao longo de um conjunto de pontos bem-escolhidos. O leitor curioso por mais detalhes pode ver a (curta) demonstração do lemma 2 do meu post em ingles sobre o teorema de Fayad e Krikorian (cuja prova é, por sua vez, baseada nestes argumentos de Kaloshin e Rodnianski).

Logicamente, o lema 4 não pode ser aplicado diretamente ao nosso caso porque nossos polinômios $P_{\mathcal{I}_m}$ possuem varias variaveis (as quais possuem relações entre elas). Entretanto, esta dificuldade técnica pode ser contornada através do método de eliminação de variaveis. Para explicar como este método funciona, consideramos $F(x,y), G(x,y)$ dois polinômios em duas variaveis $x,y$ . O estudo dos zeros comuns de $F, G$ pode ser reduzido ao estudo dos zeros de um polinômio em uma variavel do seguinte modo: fixando $x_0$ , sabemos dos cursos de Algebra que a existência de raizes comuns $y$ de $F(x_0,y), G(x_0,y)$ é completamente determinada pelo anulamento do polinômio resultante $R[F,G](x_0)=0$ (o qual depende apenas da variavel $x$ ). Ou seja, a questão de entender zeros comuns de polinômios com duas variaveis pode ser reduzida ao problema de entender os zeros de um polinômio de uma variavel (com grau ligeiramente maior). Logicamente que para a aplicação desta idéia no contexto do lema 4, precisamos de versões quantitativas do método de eliminação de variaveis. Felizmente, isso foi feito por Kaloshin e Rodnianski no lema 6 do artigo. Entretanto, para fazer o método funcionar no nosso caso é necessario acompanhar todas as constantes e graus dos polinômios envolvidos na eliminação, o que é um trabalho técnico que não pode ser descrito em detalhes em um post. Porém, podemos dar uma idéia geral de como o processo ocorre.

Pelo lema 3, a prova do teorema 2 fica reduzida a uma estimativa do tamanho de conjuntos da forma

$\{(\alpha,\beta,\gamma):|P_{\mathcal{I}_m}(\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta,\cos\gamma, \sin\gamma)|\leq \varepsilon\}$ .

Com esse intuito, notamos que, fazendo $x_{\theta}=\cos\theta$ e $y_{\theta}=\sin\theta$ , essa tarefa essencialmente equivale a estudar o conjunto de soluções comuns para as equações polinomiais

$P_{\mathcal{I}_m}(x_{\alpha},y_{\alpha},x_{\beta},y_{\beta},x_{\gamma}, y_{\gamma})-\varepsilon=0$

$x_{\alpha}^2+y_{\alpha}^2-1=0, \quad x_{\beta}^2+y_{\beta}^2-1=0, \quad x_{\gamma}^2+y_{\gamma}^2-1=0$ .

Em seguida, aplicamos o método de eliminação de variaveis três vezes na seguinte ordem: primeiro eliminamos a variavel $y_{\alpha}$ através do polinômio resultando $R$ entre $P_{\mathcal{I}_m}$ e $x_{\alpha}^2+y_{\alpha}^2-1$ ; depois, eliminamos (de modo analogo ao anterior) $y_{\beta}$ através da resultante $R_1$ entre $R$ e $x_{\beta}^2+y_{\beta}^2-1=0$ ; finalmente, eliminamos $y_{\gamma}$ obtendo um polinômio $R_2$ .

Para justificar porque a eliminação fornece boas estimativas, precisamos saber
que $R_2$ é um polinômio não-degenerado (i.e., $R_2$ não é identicamente nulo). No nosso caso, o processo de eliminação nunca é degenerado porque a resultante entre $P_{\mathcal{I}_m}$ e $x^2+y^2-1$ identicamente nula implicaria que a função $W_{\mathcal{I}_m}(\alpha,\beta,\gamma)$ é degenerada (i.e., constante). Entretanto, desde os trabalhos de Hausdorff no paradoxo de Banach-Tarski, sabemos que elementos genéricos de $SO(3)$ geram um grupo livre, de modo que a função $W_{\mathcal{I}_m}$ não pode ser constante (isto pode ser visto diretamente da representação quarteniônica: veja o lemma 2 de Kaloshin e Rodnianski).

Com isso, o esquema da prova do teorema 2 esta terminado! Ate mais!

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