Distribuição de sequências (mod 1) e a teoria ergodica de lattices aleatorios - parte 3 « Disquisitiones Mathematicae (versão portuguesa)

Distribuição de sequências (mod 1) e a teoria ergodica de lattices aleatorios - parte 3

Junho 2, 2008 de matheuscmss

Hoje iremos discutir a teoria ergodica do fluxo homogêneo $A_s$ no espaço de lattices $G(\mathbb{R})/G(\mathbb{Z})$ conforme prometido no fim do post anterior. Para isso, vamos começar com algumas definições. Lembramos que na ultima seção do post anterior identificamos o grupo especial afim $ASL_2(\mathbb{R})$ com o seguinte subgrupo de $SL_3(\mathbb{R})$

$G(\mathbb{R}):=\left\{\left(\begin{array}{ccc}a&b&x\\c&d&y\\ 0&0&1\end{array}\right) : ad-bc=1\right\}$

o qual é o produto semi-direto $G(\mathbb{R}) = SL_2(\mathbb{R})\ltimes V_2(\mathbb{R})$ onde

$SL_2(\mathbb{R})\simeq \left\{\left(\begin{array}{ccc}a&b&0\\c&d&0 \\ 0&0&1\end{array}\right)\right\} \textrm{ e } V_2(\mathbb{R})= \left\{\left(\begin{array}{ccc}1&0&x\\ 0&1&y\\ 0&0&1\end{array}\right)\right\}\simeq \mathbb{R}^2$ .

Além disso, identificamos o espaço de lattices $E$ com $G(\mathbb{R})/G(\mathbb{Z})$ e definimos

(1) $A_s:=\left(\begin{array}{ccc}s&0&0\\ 0&1/s&0 \\ 0&0&1\end{array}\right) \textrm{ e } U(t):=\left(\begin{array}{ccc}1&-2t& -t^2\\ 0&1&t \\ 0&0&1\end{array}\right)$ .

Finalmente, nos concluimos que todas essas identificações reduziam nossa tarefa na prova do seguinte fato (enunciado como teorema 3 no post anterior):

Teorema 0. Para toda $f\in C_0(E)$ vale

$\int_0^1 f(A_s\cdot\sigma(t))dt\to\int_E f d\mu_E$ .

Como ja antecipamos, este resultado sera obtido de um teorema mais geral sobre equidistribuição de horociclos não-lineares. Para enunciar adequadamente este teorema, vamos introduzir a definição:

Definição 1. Uma seção horociclica (ou horociclo) é uma aplicação $\sigma:\mathbb{R}\to G(\mathbb{R})$ da forma

(2) $\sigma(t) = \left(\begin{array}{ccc}1&t& x(t)\\ 0&1&y(t) \\ 0&0&1\end{array}\right)$

tal que

$\sigma(t+p_0) = \sigma(t)\gamma_0$

para algum inteiro $p_0\geq 1$ e algum elemento $\gamma_0\in G(\mathbb{Z})$ .

Observação 1. Dado um horociclo $\sigma$ existe um inteiro minimal $p\geq 1$ tal que $\sigma(t+p)=\sigma(t)\gamma$ para algum $\gamma\in G(\mathbb{Z})$ . Este inteiro $p$ é o periodo de $\sigma$ em $E=G(\mathbb{R})/G(\mathbb{Z})$ .

Observação 2. O nome horociclo tem a seguinte motivação: a projeção natural do espaço de lattices $E$ para o espaço de redes $B$ envia uma seção horociclica de $E$ sobre um horociclo (usual) ao redor de um “cusp” de $B$ .

Definição 2. Um horociclo $\sigma$ é dito linear (sobre os racionais) sempre que para todo $\alpha,\beta\in\mathbb{Q}$ tivermos

$m\left(\{t\in[0,p]: x(t)=\alpha t+\beta\}\right)>0$ .

Caso contrario, o horociclo $\sigma$ é dito não-linear.

Observação 3. O comportamento de $y(t)$ não influencia na nossa definição de linearidade.

Observação 4. Um horociclo real-analitico $\sigma$ é linear se e so se $x(t)\equiv \alpha t+\beta$ para algum $\alpha,\beta\in\mathbb{Q}$ ja que toda função real-analitica não-constante possui um conjunto discreto de zeros.

Comparando as equações (1), (2) e utilizando a observação 4, vemos que

$\sigma(t):=U(-t/2) := \left(\begin{array}{ccc}1&t& -t^2/4\\ 0&1&-t/2 \\ 0&0&1\end{array}\right)$

forma um horociclo não-linear com periodo $p=2$ e $x(t)=-t^2/4$ . Portanto, o teorema 0 acima segue imediatamente do seguinte fato mais geral:

Teorema 1 (Equidistribuição de horociclos). Seja $\sigma:\mathbb{R}\to G(\mathbb{R})$ um horociclo não-linear de periodo $p$ . Então, os circulos $A_s\cdot\sigma$ ficam equidistribuidos em $E$ , i.e.,

$\lim\limits_{s\to\infty}\frac{1}{p}\int_0^p f(A_s\cdot\sigma(t)) dt = \int_E f(x) d\mu_E(x)$ .

Observação 5. Os ingredientes importantes neste resultado são: a “parte linear” do horociclo ser uma matriz unipotente e o horociclo é não-linear. Com efeito, na prova do teorema 1 iremos usar o fato do horociclo ter parte linear unipotente para aplicar o teorema de Ratner de modo a reduzir a lei de distribuição $\mu$ do horociclo para uma quantidade enumeravel de candidatos (dentre eles $\mu_E$ ). Em seguida usamos a não-linearidade para excluir todas as outras possibilidades.

Observação 6. A hipotese do horociclo ser não-linear é essencial: quando o horociclo é linear, o resultado do teorema 1 é falso! Voltaremos nesse ponto apos vermos a prova do teorema.

Com isso, dedicaremos o resto deste post para a demonstração do teorema 1. Para isso, vamos utilizar o seguinte esquema:

na proxima seção, revisaremos alguns fatos basicos sobre medidas invariantes e veremos algumas propriedades da medida $\mu$ associada a lei de distribuição de $A_s\cdot\sigma(t)$ ;
em seguida, usaremos o teorema de Ratner para mostrar que temos apenas uma quantidade enumeravel de possibilidades para a lei de distribuição $\mu$ ;
finalmente, na ultima seção utilizaremos a não-linearidade do horociclo $\sigma$ para provar que a unica possibilidade para a lei de distribuição $\mu$ é $\mu=\mu_E$ , o que terminara a prova do teorema 1.

Agora passamos para a formalização desse programa.

-A lei de distribuição de um ”loop”-

Dado um ”loop” $\sigma:\mathbb{R}/p\mathbb{Z}\to E$ , denotamos por $m(\sigma)$ a probabilidade natural suportada na imagem de $\sigma$ :

$\int_E f dm(\sigma):= \frac{1}{p}\int_0^p f(\sigma(t)) dt$

para $f\in C_0(E)$ .

Além disso, dado $\sigma:\mathbb{R}/p\mathbb{Z}\to E$ um horociclo não-linear de periodo $p$ , denotamos por $\sigma_s:=A_s\cdot\sigma$ , de modo que o teorema 1 é equivalente ao seguinte resultado:

Teorema 2 (Equidistribuição de horociclos versão 2). Para todo horociclo não-linear $\sigma$ vale

$m(\sigma_s) = (A_s)_*m(\sigma)\to \mu_E$ quando $s\to\infty$ .

Como de costume, aqui a convergência ocorre na topologia fraca-*. Pelo teorema de Banach-Alaoglu, sabemos que $m(\sigma_s)$ possui uma subsequência convergente para uma medida $\mu$ . Em particular, nossa tarefa consiste em mostrar que para tais subsequências sempre temos $\mu=\mu_E$ .

Para isso, consideramos a aplicação $D$ do espaço de lattices $E$ para o espaço de redes $B$ a qual associa para cada elemento $g\in E$ a sua parte linear $D(g)\in B$ , i.e.,

$D\left(\begin{array}{ccc}a&b&x\\c&d&y\\ 0&0&1\end{array}\right) := \left(\begin{array}{ccc}a&b&0\\c&d&0\\ 0&0&1\end{array}\right)$ .

Observe que a projeção da medida de Haar $\mu_E$ de $E$ por $D$ é a me- dida de Haar $\mu_B$ de $B$ . Por isso, como um trabalho preliminar na direção de provar que $\mu=\mu_E$ , vamos verificar que a projeção de $\mu$ por $D$ esta correta:

Proposição 1. Temos que $D_*\mu=\mu_B$ .

Prova. A imagem $H$ de $D\circ\sigma$ é um horociclo (no sentido usual) do espaço $B$ . Por outro lado, $D$ envia as orbitas do “fluxo de Teichmuller” $A_s$ (as quais são geodesicas) de $E$ em geodesicas de $B$ e $D$ envia a medida $m(\sigma)$ na medida de Haar $\mu_H$ de $H$ . Finalmente, um argumento simples mostra que o fluxo geodesico de $B$ puxa $H$ para longe das cuspides de $B$ de maneira que $H$ fica equidistribuida (para mais detalhes veja o theorem 2.4 de Elkies e McMullen). Juntando esses fatos, segue que

$D_*\mu = \lim (A_s)_*\mu_H = \mu_B$ .

Isto termina a prova. $\square$

Observação 7. Uma consequência direta da proposição 1 é que $\mu$ é uma probabilidade em $E$ , i.e., $\mu(E)=1$ . Em particular, a massa das probabilidades $m(\sigma_s)$ é conservada na passagem ao limite. Essa é uma observação não-trivial porque o espaço $E$ é não-compacto!

Como veremos mais tarde, para entrarmos no contexto do teorema de Ratner, precisamos saber que $\mu$ é invariante por um subgrupo unipotente de $SL_2(\mathbb{R})$ . Com esse intuito, introduzimos o grupo

$N(t) := \left(\begin{array}{ccc}1&t&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{array}\right)$ .

Note que este subgrupo unipotente aparece naturalmente em vista da formula $D\circ\sigma(t) = N(t)$ sempre que $\sigma(t)$ é um horociclo. O resultado preparatorio para ficarmos no contexto de Ratner é o seguinte:

Proposição 2. A probabilidade $\mu$ é $N(\mathbb{R})$ -invariante.

Prova. Fixamos $\tau\in\mathbb{R}$ . Consideramos $\sigma_s(t)=A_s\cdot\sigma(t)$ e $\eta_s(t) = N_\tau\cdot\sigma_s(t)$ onde $\sigma(t)$ é um horociclo. Temos que

$\sigma_s(t) = \left(\begin{array}{ccc}s&st&sx(t) \\ 0&\frac{1}{s}&\frac{y(t)}{s} \\ 0&0&1\end{array}\right), \eta_s(t)=\left(\begin{array}{ccc}s&st+\frac{\tau}{s}&sx(t)+\frac{\tau y(t)}{s} \\ 0&\frac{1}{s}&\frac{y(t)}{s} \\ 0&0&1\end{array}\right)$ .

Para comparar adequadamente $\sigma_s(t)$ e $\eta_s(t)$ , fazemos uma mudança de variaveis para fazer com que as partes lineares fiquem iguais. Mais precisamente, definimos $u=\tau/s^2$ e consideramos

$\rho_s(t):=\eta_s(t-u):=\left(\begin{array}{ccc}s&st&sx(t-u)+s^{-1}\tau y(t-u) \\ 0&1/s&y(t-u) \\ 0&0&1\end{array}\right)$ .

Lembrando que $m(\sigma_s)\to\mu$ , segue que

(3) $m(\rho_s) = m(\eta_s)=(N_\tau)_*m(\sigma_s)\to (N_\tau)_*\mu$ .

Por outro lado, temos que $D\circ\rho_s = D\circ\sigma_s$ , de modo que a distância entre $\rho_s$ e $\sigma_s$ é dada pela distância entre os vetores obtidos da terceira coluna dessas matrizes:

$d(\rho_s,\sigma_s)=\left|\left(\begin{array}{c}sx(t-u)+\tau y(t-u)/s \\ y(t-u)/s \\1\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}sx(t)+\tau y(t)/s \\ y(t)/s \\ 1\end{array}\right)\right|$

Em seguida, usamos o fato de $x(t)$ ser Lipschitz, $y(t)$ ser limitado e $u=\tau/s^2$ para obter que

$|sx(t) - sx(t-u)|\leq s|x(t)-x(t-u)|\leq O(su)=O(1/s)$

$|y(t)/s - y(t-u)/s|\leq (|y(t)|+|y(t-u)|)/s=O(1/s)$ .

Portanto, vemos que $d(\rho_s,\sigma_s)\to 0$ quando $s\to\infty$ . Em particular, segue que $\lim m(\rho_s)=\lim m(\sigma_s)=\mu$ . Juntando isso com (3), obtemos

$(N_\tau)_*\mu=\mu$

o que encerra a demonstração. $\square$

Uma vez que ja temos a invariância de $\mu$ pelo subgrupo unipotente $N(\mathbb{R})$ , passaremos a discutir o teorema de Ratner.

-Teorema de Ratner e a classificação de $\mu$ -

O teorema de Ratner pode ser enunciado assim:

Teorema de Ratner. Sejam $\Gamma$ um subgrupo discreto de um grupo de Lie conexo $G$ e $N$ um subgrupo unipotente. Seja $\nu$ uma probabilidade ergodica $N$ -invariante em $G/\Gamma$ e denote por $J$ o maior subgrupo de $G$ deixando $\nu$ invariante. Então, existe $x\in G/\Gamma$ tal que $\nu(J\cdot x)=1$ . Além disso, $\nu$ é a medida de Haar de $J\cdot x$ e o suporte de $\nu$ é $J\cdot x$ (de modo que $J\cdot x$ é fechado em $G/\Gamma$ ).

A importância do teorema de Ratner para o contexto do teorema de Elkies e McMullen fica evidente: sendo $\mu$ invariante pelo subgrupo unipotente $N$ , podemos classificar $\mu$ listando todos os subgrupos fechados de $E$ ja que o teorema de Ratner diz que $\mu$ deve estar suportada na orbita de um tal subgrupo.

Logicamente o teorema de Ratner tem uma bela historia incluindo varias aplicações em ramos diversos da Matematica. Por isso, ficaria impossivel fazer jus a relevância desse teorema numa discussão breve, de modo que recomendamos o leitor interessado numa exposição profunda do assunto (incluindo algumas ideias da prova em casos particulares, motivação heuristica para a validade do enunciado acima e algumas aplicações) os posts publicados no blog do prof. Terence Tao (veja aqui um link para estes posts).

Em todo caso, nos iremos utilizar o teorema de Ratner do seguinte jeito. Denotando por $F$ uma fibra de $E\to B$ , observamos que $F$ é um toro complexo $\mathbb{C}/\Lambda$ . Para cada inteiro $n\geq 1$ definimos $F[n]=\left(\frac{1}{n}\cdot\Lambda\right)/\Lambda\subset F$ os pontos de ordem $n$ com respeito a estru- tura de grupo de $F$ e denotamos $E[n]$ o subfibrado de $E$ com fibras $F[n]$ .

Definição 3. $\bigcup E[n]$ é o conjunto de pontos de torção de $E$ .

Em seguida introduzimos $H(\mathbb{R})\subset G$ o subgrupo de translações horizontais, i.e., translações por vetores da forma $(x,0)\in\mathbb{R}^2$ e $H(r,\varepsilon)\subset G$ o conjunto de translações por vetores $(x,y)$ da forma $|x|<r$ e $|y|<\varepsilon$ .

O objetivo dessa seção é aplicar o teorema de Ratner para mostrar o seguinte resultado:

Teorema 4 (Classificação de $\mu$ ). Temos que $\mu=\mu_E$ ou $\mu(H(\mathbb{R})\cdot E[n])>0$ para algum $n\geq 1$ .

Infelizmente o teorema 4 não é uma consequência imediata do teorema de Ratner porque não sabemos que $\mu$ é ergodica. Para contornar essa situação, aplicamos o teorema de desintegração ergodica para escrever $\mu$ como uma combinação convexa (”unica”) de medidas ergodicas $N(\mathbb{R})$ -invariantes:

$\mu=\int\nu dP(\nu)$ .

Observação 8. Usualmente o teorema de decomposição ergodica é enunciado em espaços compactos. No caso de $E$ (um espaço não-compacto), aplicamos esse teorema para a compactificação com um ponto e restringimos para $E$ .

Em seguida, para cada $\nu$ probabilidade ergodica $N(\mathbb{R})$ -invariante em $E$ definimos

$J(\nu):=\{g\in G(\mathbb{R}): g_*\nu=\nu\}$ ,

ou seja, $J(\nu)$ é o maior subgrupo de $G(\mathbb{R})$ deixando $\nu$ invariante. Observe que $J(\nu)$ é fechado e $N(\mathbb{R})\subset J(\nu)$ .

Proposição 3. Para quase toda $\nu$ na decomposição ergodica de $\mu$ , temos

$D_*\nu=\mu_B \quad \textrm{ e } \quad D(J(\nu))=SL_2(\mathbb{R})$ .

Prova. Da proposição 1 sabemos que $\mu_B = D_*\mu = \int D_*\nu dP(\nu)$ . Como a ação de $N(\mathbb{R})$ em $(B,\mu_B)$ é ergodica (porque esta ação é o fluxo horociclico em $B$ ), segue que $D_*\nu=\mu_B$ para quase toda $\nu$ .

Por outro lado, pelo teorema de Ratner sabemos que $\nu$ esta suportada em uma orbita $J(\nu)\cdot x\subset E$ . Logo,

$D(J(\nu))\cdot D(x) = D(J(\nu)\cdot x) = D(\textrm{supp}(\nu)) = \textrm{supp}(D_*\nu)$ .

Como ja vimos que $D_*\nu=\mu_B$ , obtemos

$D(J(\nu))\cdot D(x)=\textrm{supp}(\mu_B)=B=SL_2(\mathbb{R})/SL_2(\mathbb{Z})$ .

Portanto, $D(J(\nu))=SL_2(\mathbb{R})$ . Isso termina a prova. $\square$

Agora nos relembramos a seguinte proposição sobre ações de $SL_2(\mathbb{R})$ :

Proposição 4. Toda ação afim de $SL_2(\mathbb{R})$ em $\mathbb{R}^k$ possui pontos fixos.

Prova. Pelo truque unitario de Weyl, esta ação pode ser estendida para uma ação de $SL_2(\mathbb{C})$ em $\mathbb{C}^k$ . Por outro lado, um ponto fixo $p\in\mathbb{C}^k$ para o grupo compacto $SU_2(\mathbb{C})$ pode ser construido facilmente (p.ex., tomando a media). Como $\mathbb{C}\cdot su_2(\mathbb{C})=sl_2(\mathbb{C})$ , o ponto $p$ é fixado também pela ação de $SL_2(\mathbb{C})$ e, a fortiori, pela ação de $SL_2(\mathbb{R})$ . Logo, a parte real de $p$ é o ponto fixo de $SL_2(\mathbb{R})$ em $\mathbb{R}^k$ desejado. $\square$

Proposição 5. Se $H\subset G(\mathbb{R})$ é um subgrupo com $D(H)=SL_2(\mathbb{R})$ , então $H=G(\mathbb{R})$ ou $H$ é conjugado a $SL_2(\mathbb{R})$ .

Prova. Como $D(H)=SL_2(\mathbb{R})$ , o nucleo $K$ da aplicação $D:H\to SL_2(\mathbb{R})$ é um subgrupo $SL_2(\mathbb{R})$ -invariante de $V_2(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^2$ de modo que temos duas possibilidades:

$K=V_2(\mathbb{R})$ : nesse caso, $H=G(\mathbb{R})$ ;
$K=\{e\}$ : nesse caso, temos uma ação afim $D^{-1}:SL_2(\mathbb{R})\to H\subset G(\mathbb{R}) = ASL_2(\mathbb{R})$ de $SL_2(\mathbb{R})$ em $\mathbb{R}^2$ , a qual deve possuir um ponto fixo pela proposição 4; conjugando com um elemento adequado de $V_2(\mathbb{R})$ , podemos assumir que este ponto fixo é a origem e $H=SL_2(\mathbb{R})$ .

Isto termina a demonstração. $\square$

Corolario 1. $J(\nu)=G(\mathbb{R})$ ou $J(\nu)=g\cdot SL_2(\mathbb{R})\cdot g^{-1}$ para alguma translação horizontal $g\in H(\mathbb{R})$ .

Prova. Como $\nu$ é $N(\mathbb{R})$ -invariante sabemos que $N(\mathbb{R})\subset J(\nu)$ . Além disso, pela proposição 3 temos que $D(J(\nu))=SL_2(\mathbb{R})$ . Logo, usando a proposição 5, segue que $J(\nu)=G(\mathbb{R})$ ou $J(\nu)=g\cdot SL_2(\mathbb{R})\cdot g^{-1}$ . Isso conclui a demonstração. $\square$

Proposição 6. $\nu=\mu_E$ ou $\textrm{supp}(\nu)\subset g\cdot E[n]$ para algum $n\geq 1$ inteiro e $g\in H(\mathbb{R})$ .

Prova. Do corolario anterior temos $J(\nu)=G(\mathbb{R}) \textrm{ ou } g\cdot SL_2(\mathbb{R})\cdot g^{-1}$ . No primeiro caso vemos que $\nu=\mu_E$ pela $J(\nu)$ -invariância de $\nu$ . No segundo caso, $g^{-1}\textrm{supp}(\nu) = SL_2(\mathbb{R})\cdot x$ é uma $SL_2(\mathbb{R})$ -orbita fechada em $E$ . Como tais orbitas sempre estão contidas em $E[n]$ para algum $n\geq 1$ , isso encerra a demonstração. $\square$

Neste ponto, podemos finalizar esta seção dando a demonstração do teorema 4:

Prova do teorema 4. Escremos a decomposição ergodica de $\mu$ como $\mu = \int \nu dP(\nu)$ . Pela proposição 6, quase toda componente ergodica $\nu$ de $\mu$ satisfaz: $\nu = \mu_E$ ou $\textrm{supp}(\nu)\subset H(\mathbb{R})\cdot E[n]$ para algum $n$ . Portanto, podemos escrever $\mu$ da seguinte forma:

$\mu=a_0\mu_E + \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\mu_n$ ,

onde $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n=1$ e $\textrm{supp}(\mu_n)\subset H(\mathbb{R})\cdot E[n]$ . Em particular, se $\mu\neq \mu_E$ então $a_n\neq 0$ para algum $n\geq 1$ , donde $\mu(H(\mathbb{R})\cdot E[n])>0$ . Isso termina a prova do teorema. $\square$

Tendo em vista a classificação de $\mu$ fornecida pelo teorema 4, vemos que o teorema 2 de equidistribuição de horociclos não-lineares segue ao mostrarmos que $\mu$ não enxerga os pontos de torção de $E$ . Esse sera o conteudo da proxima seção.

-Não-linearidade e pontos de torção-

O teorema principal dessa seção é

Teorema 5. Dados $\sigma$ um horociclo não-linear e $\mu$ um ponto de acumulação das medidas $m(A_s\cdot\sigma)$ (quando $s\to\infty$ ) temos

$\mu(H(\mathbb{R})\cdot E[n])=0$

para todo $n\geq 1$ .

Prova. Dados $\varepsilon>0$ e $r>0$ , defina

$U=H(r,\varepsilon)\cdot E[n]$

$T_s=\{t\in [0,p]: \sigma_s(t)\in U\}$ .

Afirmamos que

(4) $\limsup\limits_{s\to\infty} m(T_s)=O(\varepsilon)$ .

Para computar $m(T_s)$ sera conveniente passar para o recobrimento universal $G=G(\mathbb{R})$ de $E = G/G(\mathbb{Z})$ . Começamos por notar que $E[n]$ é coberto pela $SL_2(\mathbb{R})$ -orbita de $G[n]=\bigcup G[n]^{i,j}$ onde

$G[n]^{i,j}=\left\{\left(\begin{array}{ccc}a&b&\frac{i}{n}a+\frac{j}{n}b \\ c&d& \frac{i}{n}c+\frac{j}{n}d\\ 0&0&1\end{array}\right): ad-bc=1\right\}$ .

Em particular os pontos de $G[n]$ na mesma fibra de $\sigma_s(t)$ são

$\rho_s^{i,j}(t) = \left(\begin{array}{ccc}s&st&\frac{i}{n}s+\frac{j}{n}st \\ 0&s^{-1}& \frac{j}{n}s^{-1}\\ 0&0&1\end{array}\right)$ .

Tomando a métrica Euclideana na terceira coluna das matrizes acima, vemos que $T_s = \bigcup T_s^{i,j}$ onde

$T_s^{i,j} = \left\{t: \left(\begin{array}{c}sx(t)\\s^{-1}y(t)\end{array}\right)- \left(\begin{array}{c}\frac{i}{n}s+\frac{j}{n}st\\s^{-1}\frac{j}{n}\end{array}\right)\in H(r,\varepsilon)\right\}$ .

Em particular, $T_s^{i,j}\subset X_s^{i,j}\cap Y_s^{i,j}$ onde

$X_s^{i,j} = \{t: |x(t)-\frac{i}{n}-\frac{j}{n}t|<r/s\}$

$Y_s^{i,j} = \{t: |y(t) - \frac{j}{n}|<\varepsilon s\}$ .

Neste ponto vamos usar a não-linearidade de $\sigma$ para obter que o conjunto de $t$ com $x(t) = \frac{i}{n}+\frac{j}{n}t$ tem medida zero, de modo que, para cada $i,j$ fixado, temos

(5) $\lim\limits_{s\to\infty} m(X_s^{i,j}) = 0$ .

Por outro lado, utilizamos o fato de $x(t)$ ser Lipschitz para estimar $m(X_s^{i,j})$ quando $j$ é grande: mais precisamente, sempre que $|j|>M:=2n\sup\limits_{0\leq t\leq p}|x'(t)|$ , o conjunto $X_s^{i,j}$ é a pré-imagem de um intervalo de tamanho $1/s$ por uma aplicação com derivada da ordem de $j/n$ . Logo,

(6) $m(X_s^{i,j})=O(1/s|j|)$ para todo $|j|>M$ .

Além disso, notamos que

(7) $Y_s^{i,j}=\emptyset$ quando $|j|\geq J_s:= n (s\varepsilon+ \sup\limits_{0\leq t\leq p}|y(t)|)$

( 8 ) $X_s^{i,j}=\emptyset$ quando $|i|\geq I_s(j):= n(\frac{r}{s}+ |\frac{j}{n}|+ \sup\limits_{0\leq t\leq p}|x(t)|)$ .

Finalmente, observamos que

(9) $J_s = O(s\varepsilon)$ e $I_s(j) = O(|j|+1)$ para $s$ grande.

Com estes fatos em mãos, podemos estimar $m(T_s)$ assim: por (7) e ( 8 ) segue que

(10) $m(T_s)\leq \sum\limits_{|j|<J_s}\sum\limits_{|i|<I_s(j)} m(X_s^{i,j})$ .

Agora dividimos a soma do lado direito em duas partes:

$\sum\limits_{|j|<J_s}\sum\limits_{|i|<I_s(j)} m(X_s^{i,j})\leq \sum\limits_{M<|j|<J_s}\sum\limits_{|i|<I_s(j)} m(X_s^{i,j}) + \sum\limits_{|j|\leq M}\sum\limits_{|i|<I_s(j)} m(X_s^{i,j})$

Em seguida, notamos que a primeira soma é $O(|J_s|\varepsilon/s)=O(\varepsilon^2)$ (porque (9) diz que $|I_s| = O(|j|+1)$ e $|J_s|=O(s\varepsilon)$ ) e a segunda soma ocorre sobre um conjunto finito de indices $i,j$ de maneira que (5) diz que esta soma tende a zero (quando $s$ cresce). Portanto, juntando estas duas estimativas com (10) vemos que quando $s$ é grande vale

$m(T_s)=O(\varepsilon)$ ,

o que prova a estimativa (4) desejada.

Finalmente, lembramos que $m_s(U) = m(T_s)/p$ , de modo que a estimativa (4) implica $\mu(H(r,\varepsilon)\cdot E[n])=O(\varepsilon)$ para todo $r,\varepsilon>0$ . Fazendo $\varepsilon\to 0$ e depois $r\to\infty$ , segue que $\mu(H(\mathbb{R})\cdot E[n])=0$ , o que finaliza a prova do teorema. $\square$

Com o teorema 5 ja provado, a tarefa de concluir a demonstração do teorema 2 (ou equivalentemente do teorema 1) fica facil. Com efeito esse é o conteudo da (curta) seção final abaixo.

-Fim da prova do teorema 2-

Dado $\sigma$ um horociclo não-linear, consideramos um ponto de acu- mulação qualquer $\mu$ de $m(A_s\cdot\sigma)$ quando $s\to\infty$ . Pelo teorema 5, $\mu$ da massa zero para as translações horizontais dos pontos de torção $\bigcup\limits_{n\geq 1} E[n]$ de $E$ . Logo, o teorema 4 (de classificação) implica que $\mu=\mu_E$ . Em outras palavras, temos que $\mu_E$ é o unico ponto de acumulação da sequência $m(A_s\cdot\sigma)$ . Isto mostra que

$m(A_s\cdot\sigma)\to\mu_E$

o que encerra a prova do teorema 2.

Com isso, nossa apresentação da prova do teorema de Elkies e McMullen chega ao fim! Para fechar este post, fazemos a seguinte observação:

Observação 9. O teorema 2 de equidistribuição é optimal, i.e., ele nunca vale quando $\sigma$ é linear: se $x(t) = \frac{i}{n}+\frac{j}{n}t$ para um conjunto de medida positiva de $t$ então $\mu(E[n])>0$ de modo que $m(A_s\cdot\sigma)$ não pode convergir para $\mu_E$ .

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Disquisitiones Mathematicae (versão portuguesa)

Por Carlos Matheus

Distribuição de sequências (mod 1) e a teoria ergodica de lattices aleatorios - parte 3

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