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Distribuição de sequências (mod 1) e a teoria ergodica de lattices aleatorios - parte 2

Maio 28, 2008 de matheuscmss

Continuando as discussões do post anterior, pretendemos utilizar a teoria ergodica de fluxos homogeneos (em particular os teoremas de Ratner) para entender os valores da função $L$ ao longo dos latti- ces $\Lambda_{s^2}(t)$ (na notação do post anterior). O resultado de teoria er- godica a ser invocado diz que a familia $\{\Lambda_{s^2}(t): t\in [0,1]\}$ de circu- los de lattices fica equidistribuida no espaço de lattices $E$ quando $s\to\infty$ :

Teorema 1. Para toda $f\in C_0(E)$ temos

$\int_0^1 f(\Lambda_{s^2}(t)) dt\to \int_E f d\mu_E$ quando $s\to\infty$ .

Por enquanto, assumiremos este teorema e veremos como deter- minar a distribuição assintotica $F$ de $\{\sqrt{n}\}$ .

-Calculo de $F$ assumindo o teorema 1-

Relembre que o ultimo resultado provado no post anterior foi a proposição 1 segundo a qual o tamanho do conjunto de $t\in [0,1]$ tais que $L(\Lambda_{s^2}(t))\leq x$ é $|\widetilde{I}_{s^2}(x)|+O(1/s)$ . Juntando este fato com o teorema 1 acima, temos a seguinte consequência:

Proposição 1. Para $x\in [0,\infty)$ temos

$|\widetilde{I}_{s^2}(x)|\to \mu_E(\{\Lambda\in E: L(\Lambda)\leq x\}$ quando $s\to\infty$ .

Prova. Considere $E_x:=\{\Lambda\in E: L(\Lambda)\leq x\}$ . Com essa notação, o fato do tamanho do conjunto dos $t\in [0,1]$ com $L(\Lambda_{s^2}(t))\leq x$ verificar $|\widetilde{I}_{s^2}(x)|+O(1/s)$ pode ser reescrito como:

$\int_0^1\chi_{E_x}(\Lambda_{s^2}(t)) dt = |\widetilde{I}_{s^2}(x)|+O(1/s)$

Isso reduz nossa tarefa a mostrar que $\int_0^1\chi_{E_x}(\Lambda_{s^2}(t)) dt$ converge para $\mu_E(E_x)$ . Para isso, a idéia natural seria aplicar o teorema 1. Entretanto uma utilização direta desse teorema não é possivel porque a função caracteristica $\chi_{E_x}$ não é continua. Um remédio simples para esse contra-tempo é aproximar (em $L^1$ ) $\chi_{E_x}$ e $1-\chi_{E_x}$ por funções continuas em $C_0(E)$ e aplicar o teorema 1. Com isso, a unica coisa que nos resta fazer é ver que tais aproximações exis- tem. Conforme sabemos dos cursos de analise, as funções $\chi_{E_x}$ e $\chi_{E-E_x}$ podem ser aproximadas por funções em $C_0(E)$ sempre que $\mu_E(\partial E_x)=0$ .

Resumindo, a prova da proposição terminara quando mostrarmos que $\mu_E(\partial E_x)=0$ . Nesse sentido, começamos por convidar o leitor a verificar que $L:E\to [0,\infty]$ é uma submersão para quase todos os pontos de $E$ : mais precisamente, $L$ deixa de ser submersão apenas nos lattices $\Lambda$ contendo a origem $(0,0)$ ou um ponto do lado horizontal $w_2=1$ do seu triângulo maximal $\Delta_{c_-,c_+}$ . Em particular, para cada $x$ , os pontos de $E_x$ nos quais $L$ deixa de ser submersão formam um fechado de $\mu_E$ -medida zero. Logo, pelo teorema (de forma local) das submersões vemos que os conjuntos de nivel de $L$ possuem $\mu_E$ -medida zero e, a fortiori, segue que $\mu_E(\partial E_x)=0$ , como afirmamos. Isto termina a prova. $\square$

Um corolario direto dessa proposição (e dos resultados obtidos no post anterior) é:

Proposição 2. Suponha que a distribuição assintotica $F(\xi)$ de $\{\sqrt{n}\}$ é continua. Então,

$\lim\limits_{N\to\infty}|I_N(x)| = \lim\limits_{N\to\infty}|\widetilde{I}_N(x)| = \mu_E(\{\Lambda\in E: L(\Lambda)\leq x\})$

para $x\in [0,\infty)$ . Mais ainda, esta convergência é uniforme em $x$ .

Prova. Supondo $F$ continua, podemos combinar o lema 1, o teore- ma 3 do post anterior e a proposição 1 acima para obter o resulta- do desejado. $\square$

Apesar do enunciado da proposição 2 ser animador (porque escre- vemos $I_N$ assintoticamente em termos da medida $\mu_E$ do conjunto $L^{-1}([0,x])$ ), ainda não estamos em condições de computar a distri- buição $F$ pela seguinte razão: do post anterior sabemos apenas $I_N(x)\to\int_0^x \xi F(\xi) d\xi$ , de modo que para obter $F$ em termos de $\mu_E(L^{-1}([0,x]))$ devemos derivar em $x$ duas vezes esta função. Entretanto, neste ponto não esta claro nem que a derivada de $\mu_E(L^{-1}([0,x]))$ existe!

Para isso, vamos ter que trabalhar um pouco com os conjuntos $L^{-1}([0,x])$ . Com esse intuito, introduzimos o subconjunto $S_{c_-,c_+}$ de $E$ formado pelos lattices $\Lambda$ com algum ponto no triângulo $\Delta_{c_-,c_+}$ , onde $c_-<0<c_+$ . Observe que $\mu_E(S_{c_-,c_+})$ depende apenas da area $c_+-c_-$ do triângulo $\Delta_{c_-,c_+}$ porque todos os triângulos com area fixada são equivalentes por uma transformação em $ASL_2(\mathbb{R})$ e a medida $\mu_E$ é $ASL_2(\mathbb{R})$ -invariante. Em particular, podemos definir a função $p:[0,\infty]\to [0,1]$ por

$p(c_+-c_-):=\mu_E(S_{c_-,c_+})$

com as convenções $p(0)=0$ e $p(\infty)=\infty$ .

Como ja comentamos, para encontrar uma formula para $F$ eventualmente teremos que derivar duas vezes $p$ :

Lema 1. Suponha que $p\in C^2$ (i.e., $p$ é duas vezes diferenciavel e $p''$ é continua). Então,

$F(x) = -p''(x)$ .

Prova. Escrevemos $\mu_E(\{\Lambda\in E: L(\Lambda)<x\})$ em “soma telescopica” assim:

$\mu_E(S_{0,x}) - \lim\limits_{M\to\infty} \sum\limits_{j=0}^{M-1} [\mu_E(S_{\frac{(j+1)x}{M}-x, \frac{jx}{M}})-\mu_E(S_{\frac{jx}{M}-x,\frac{jx}{M}})]$ .

Colocando isto em termos da função $p$ , obtemos

$\mu_E(\{\Lambda\in E: L(\Lambda)<x\}) = p(x) - \lim\limits_{M\to\infty} M\left(p(x)-p(x-\frac{x}{M})\right)$ .

Sendo $p$ diferenciavel, segue que

$\mu_E(\{\Lambda\in E: L(\Lambda)<x\}) = p(x) - xp'(x)$ .

Por outro lado, supondo $p$ duas vezes diferenciavel, sabemos que $\frac{d}{dx}(p(x)-xp'(x))=-xp''(x)$ . Mais ainda, como $p(0)=0$ , vemos que $p(x)-xp'(x)=0$ em $x=0$ . Combinando esses dois fatos, obtemos que $p(x)-xp'(x)=\int_0^x -\xi p''(\xi) d\xi$ .

Juntando as identidades acima, obtemos

$\mu_E(\{\Lambda\in E: L(\Lambda)<x\}) = \int_0^x -\xi p''(\xi) d\xi$ .

Isto termina a prova do lema tendo em vista a proposição 2 e o fato (discutido no post anterior) de $|I_N(x)|\to \int_0^x\xi F(\xi) d\xi$ . $\square$

Observação 1. Ainda supondo que $p\in C^2$ , vemos que a definição de $p$ e o lema 1 implicam

$F(x)=-p''(x)=-\frac{\partial^2}{\partial c_- \partial c_+}\mu_E(S_{c_-,c_+})$

para quaisquer $c_-<0<c_+$ com $c_+-c_-=x$ . Isto fornece a se- guinte interpretação geométrica para $F(x)$ em termos de $\mu_E$ : o va- lor $F(c_+-c_-) dc_- dc_+$ é a medida do conjunto de lattices $\Lambda\in E$ intersectando $\Delta_{c_-,c_+}$ em exatamente dois pontos - um deles com coordenadas $(w_1,w_2)$ verificando $w_1/2w_2\in (c_-, c_-+dc_-)$ e o outro com coordenadas $(w_1,w_2)$ verificando $w_1/2w_2\in (c_+-dc_+,c_+)$ .

Do lema 1, o calculo da distribuição $F$ de $\{\sqrt{n}\}$ fica reduzido a computar explicitamente a função $p$ e verificar que $p\in C^2$ . Para isso, vamos recapitular alguns fatos conhecidos sobre a teoria de redes unimodulares.

Denotamos por $B$ o espaço de redes unimodulares de $\mathbb{R}^2$ (i.e., subgrupos discretos $\Lambda^0$ isomorfos a $\mathbb{Z}^2$ com covolume 1) e $\mu_B$ a medida de Haar de $B$ . Um vetor $w\in \Lambda^0$ de uma rede $\Lambda^0\in B$ é dito primitivo sempre que existir $w'\in\Lambda^0$ tal que $\{w,w'\}$ é uma $\mathbb{Z}^2$ -base de $\Lambda^0$ . Equivalentemente, $w\in\Lambda^0$ é primitivo quando $w/k\in\Lambda^0$ para todo $k>1$ . No que se segue iremos utilizar os seguintes fatos:

o subconjunto $Z_w\subset B$ de redes possuindo $w$ como um vetor primitivo forma um circulo (na verdade um horociclo fechado);
dado $K\subset\mathbb{R}^2$ um compacto convexo, a area de $K$ é $\zeta(2)\times\int_B f_K(\Lambda^0) d\mu_B$ onde $f_K(\Lambda^0)$ é a quantidade de vetores primitivos de $\Lambda^0$ em $K$ ;
em particular, tomando $K$ suficientemente pequeno de modo que $f_K(\Lambda^0)\leq 1$ para todo $\Lambda^0\in B$ , vemos que o conjunto de lattices com vetor primitivo em $K$ tem $\mu_B$ -medida igual a $1/\zeta(2)$ vezes a area de $K$ ;
mais ainda, podemos desintegrar a medida $\mu_B$ de um subconjunto mensuravel $\widetilde{B}\subset B$ assim: $\mu_B(\widetilde{B}) = \frac{1}{\zeta(2)}\int_{w\in K}\mu_w(\widetilde{B}\cap Z_w)$ , onde $\mu_w$ é a medida (normalizada) de Lebesgue do circulo $Z_w$ .

Neste ponto, nosso objetivo sera usar a observação 1 com a des- integração de $\mu_B$ para expressar $F$ como uma integral dupla. Nesse sentido, em vista da interpretação geométrica de $F$ (na observação 1), olhamos para os lattices $\Lambda\in E$ intersectando o triângulo $\Delta_{c_-,c_+}$ em dois pontos com coordenadas $(w_1,w_2)$ satisfa- zendo $w_1/2w_2\in (c_-,c_-+dc_-)$ e $w_1/2w_2\in (c_+-dc_+,c_+)$ . Note que a diferença entre esses dois pontos de $\Lambda$ é um vetor primitivo: caso contrario, $\Lambda$ iria conter um terceiro ponto no segmento de reta determinado por esses dois pontos; sendo $\Delta_{c_-,c_+}$ convexo (porque ele é um triângulo) seguiria que $\Lambda$ intersectaria $\Delta_{c_-,c_+}$ em três pontos, uma contradição com nossa hipotese. Usando esse vetor primitivo, aplicamos a desintegração de $\mu_B$ para exprimir $F$ como uma integral nas $w_2$ coordenadas $v_-,v_+$ dos vetores de $\Lambda$ na fronteira de $\Delta_{c_-,c_+}$ : para $v_-,v_+\in (0,1)$ , escrevemos $w=(2c_+v_+,v_+)-(2c_-v_-,v_-)$ e lembramos que $Z_w$ parametriza os lattices contendo $w$ ; em seguida, denotamos por $q_x(v_-,v_+)\in [0,1]$ a ( $\mu_w$ )-medida do subconjunto de $Z_w$ formado por lattices disjuntos do interior de $\Delta_{c_-,c_+}$ . Observe que escrevemos $q_x$ ao invés de $q_{c_-,c_+}$ porque essa quantidade depende apenas de $x=c_+-c_-$ . Com essa notação, a formula de $F$ em integral dupla é:

Proposição 3. A função $(x,v_-,v_+)\mapsto q_x(v_-,v_+)$ é continua exceto num subconjunto de $\{v_-=v_+\}$ . Mais ainda, para $x\in [0,\infty)$ , temos

$-p''(x)=F(x)=\frac{1}{\zeta(2)}\int_0^1\int_0^1 4v_-v_+ q_x(v_-,v_+) dv_- dv_+$ .

Em particular, segue que $F$ é continua.

Prova. O fato de $q_x(v_-,v_+)$ ser continuo é imediato exceto quando o vetor $w$ é horizontal (em particular ele fica paralelo ao terceiro lado de $\Delta_{c_-,c_+}$ ). Isto prova a primeira afirmação da proposição porque $w$ horizontal implica $v_-=v_+$ . No mais, como $0\leq q_x(v_-,v_+)\leq 1$ , a integral dupla acima existe e varia continuamente com $x$ . Finalmente, para ver que esta integral coincide com $-p''(x)$ e $F(x)$ , usamos a interpretação geométrica de $F$ (discutida no paragrafo anterior ao enunciado da proposição) combinado com o fato de $4v_-v_+$ ser o produto dos comprimentos dos segmentos de reta

$\{(w_1,v_-): 2c_-v_-<w_1<2(c_-+dc_-)v_-\}$

onde os vetores do lattice variam (além do fato de que estamos utilizando os fatores $q_x(v_-,v_+)/\zeta(2)$ na formula de desintegração de $\mu_B$ ). $\square$

Para tornar a proposição 3 um pouco mais util, precisamos computar $q_x(v_-,v_+)$ . A idéia para fazer isso consiste em fazer considerações geométricas apos uma mudança afim de coordenadas de $(w_1,w_2)$ para $(z,z')$ levando o triângulo $\Delta_{c_-,c_+}$ no triângulo isosceles

$\Delta_0:=\{(z,z')\in\mathbb{R}^2: z,z'>0, z+z'<1\}$

de area $1/2$ . Como o triângulo $\Delta_{c_-,c_+}$ tem area $c_+-c_-$ , esta transformação multiplica a area pelo fator

$r:=1/2x$ .

Apesar do argumento não ser muito complicado, deixaremos para o leitor curioso ver a prova do lemma 3.12 para os detalhes da demonstração do seguinte fato:

Lema 2. Para quaisquer $0<v,v'\leq 1$ e $x>0$ vale $q_x(v,v')= q_x(v',v)$ . Além disso, para $v\geq v'$ , temos

$q_x(v,v'):=\max\left\{0, \min\left(1,\frac{r}{vv'}\right) - \max\left(0,\frac{v(1-v')-r}{v(v-v')}\right)\right\}$

com $r=1/2x$ . Aqui estamos interpretando

$\max\left(0,\frac{v(1-v')-r}{v(v-v')}\right) = \begin{cases} \infty & \textrm{ se } v=v' \textrm{ e } r<v(1-v') \\ 0 & \textrm{ se } v=v' \textrm{ e } r\geq v(1-v') \end{cases}$

Com este fato em mãos, achar uma formula explicita para $F$ (a distribuição assintotica das lacunas de $\{\sqrt{n}\}$ ) vira um exercicio de Calculo I. Com efeito, seguindo combinando a proposição 3 com o lema 2 e calculando algumas integrais (como na prova do teorema 3.14 de Elkies e McMullen), o leitor eventualmente acabara demonstrando o seguinte resultado:

Teorema 2. Temos

$F(t):=\begin{cases}6/\pi^2, \quad t\in [0,1/2], \\ F_2(t), \quad t\in[1/2,2], \\ F_3(t), \quad t\in [2,\infty), \end{cases}$

onde $F_2(t)$ e $F_3(t)$ são

$F_2(x)=\frac{6}{\pi^2}(\frac{2}{3}(4r-1)^{\frac{3}{2}}\psi(r) + (1-6r)\log r + 2r - 1)$

e

$F_3(x)=\frac{6}{\pi^2} (f(\alpha)-g(\alpha)-h(\alpha)$ .

Aqui $r:=1/2x$ e $\psi(r) = \tan^{-1}[(2r-1)/\sqrt{4r-1}] - \tan^{-1}[1/\sqrt{4r-1}]$ , $\alpha = (1-\sqrt{1-4r})/2$ , $f(\alpha)=4(1-4\alpha)(1-\alpha)^2\log(1-\alpha)$ , $g(\alpha)=2(1-2\alpha)^3\log(1-2\alpha)$ e $h(\alpha)=2\alpha^2$ .

Dito de outro modo, acabamos de completar a prova do teorema de Elkies e McMullen (conforme enunciado no primeiro post introdu- torio) modulo o teorema 1 (o qual assumimos durante toda esta seção)!

Com isso, encerramos essa seção e passamos para a questão de relacionar o teorema 1 com a teoria ergodica de fluxos homo- gêneos.

-Relação entre o teorema 1 e fluxos homogêneos-

Lembramos que o teorema 1 fala sobre a equidistribuição da fa- milia de circulos de lattices $\{\Lambda_{s^2}(t): t\in [0,1]\}$ quando $s\to\infty$ . Para reformular o teorema 1 numa linguagem apropriada, obser- vamos que toda a ação ocorre no grupo especial afim $ASL_2(\mathbb{R})$ o qual iremos re-escrever como

$G(\mathbb{R}):=\left\{\left(\begin{array}{ccc}a &b&x \\ c&d&y \\ 0&0&1\end{array}\right) : ad-bc=1\right\} \subset SL_3(\mathbb{R})$ .

Note que este grupo atua em $\mathbb{R}^2$ através das transformações afins conservativas

$\left(\begin{array}{c}X \\ Y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X \\ Y\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)$ .

Denotamos por $G(\mathbb{Z})\subset G(\mathbb{R})$ o subgrupo formado pelas matrizes com entradas inteiras e observamos que o espaço de lattices (uni- modulares) $E$ é naturalmente identificado com $G(\mathbb{R})/G(\mathbb{Z})$ : tomamos o lattice inteiro $\mathbb{Z}^2$ como ponto base e para cada $g\in G(\mathbb{R})$ associamos o lattice

$\Lambda(g) := \left\{ (w_1,w_2)\in\mathbb{R}^2: \left(\begin{array}{c}w_1 \\ w_2 \\ 1\end{array}\right)\in g \left(\begin{array}{c}\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z} \\ 1\end{array}\right)\right\}$ .

Esta aplicação é sobrejetiva e $\Lambda(g)=\Lambda(h)$ se e so se $h\in g\cdot G(\mathbb{Z})$ (como o leitor pode verificar), de maneira que isto é um isomor- fismo entre $E$ e $G(\mathbb{R})/G(\mathbb{Z})$ .

No caso particular dos lattices $\Lambda_{s^2}(t)$ , os elementos de $G(\mathbb{R})/G(\mathbb{Z})$ associados por esse isomorfismo podem ser calculados explicita- mente do seguinto jeito: relembramos do post anterior que

$\Lambda_{s^2}(t):=\{(s(b-2ta-t^2),(a+t)/s)\}$ ,

donde os pontos $(w_1,w_2)\in\Lambda_{s^2}(t)$ em notação matricial ficam:

$\left(\begin{array}{c}w_1 \\ w_2 \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}s&-2st&-st^2 \\ 0&1/s&t/s \\ 0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b\\a\\1\end{array}\right) = A_sU(t) \left(\begin{array}{c}b\\a\\1\end{array}\right)$ ,

onde $A_s = diag(s,1/s,1)$ é a matriz diagonal

$A_s:=\left(\begin{array}{ccc}s&0&0 \\ 0&1/s&0 \\ 0&0&1\end{array}\right)$

$U(t):= \left(\begin{array}{ccc}1&-2t&-t^2 \\ 0&1&t \\ 0&0&1\end{array}\right)$ .

Logo, $\Lambda_{s^2}(t)$ é o lattice

$\Lambda_{s^2}(t) = \left\{(w_1,w_2)\in\mathbb{R}^2 : \left(\begin{array}{c}w_1 \\ w_2 \\ 1\end{array}\right)\in A_sU(t) \left(\begin{array}{c}\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z} \\ 1\end{array}\right)\right\}$ .

Em outras palavras, $\Lambda_{s^2}(t)$ é identificado com $A_s U(t)$ . Resumindo, vemos que o teorema 1 é equivalente ao seguinte enunciado:

Teorema 3. Os circulos $\{A_sU(t):t\in [0,1]\}$ ficam e- quidistribuidos em $G(\mathbb{R})/G(\mathbb{Z})$ quando $s\to\infty$ , i.e., para toda $f\in C_0(E)$ vale

$\lim\limits_{s\to\infty}\int_0^1 f(A_sU(t))dt = \int_E f d\mu_E$ .

Uma vez que o teorema 1 foi “traduzido” para o teorema 3, nosso plano sera utilizar a teoria ergodica do fluxo homogêneo $A_s$ no es- paço $E = G(\mathbb{R})/G(\mathbb{Z})$ : mais precisamente, iremos explorar o fato do circulo $\{U(t):t\in[0,1]\}$ ser um horociclo não-linear (um con- ceito a ser discutido depois) para derivar o teorema 3 de um re- sultado mais geral sobre a equidistribuição de horociclos não-li- neares pelo fluxo de $A_s$ . Porém, como uma explicação detalhada disso leva um certo tempo, deixaremos para o proximo post esta discussão.

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