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Distribuição de sequências (mod 1) e a teoria ergodica de lattices aleatorios - parte 1

Maio 17, 2008 de matheuscmss

Começaremos a discussão de hoje esclarecendo um pouco mais o esquema da prova do teorema de Elkies e McMullen (sobre a distribuição das lacunas de $\sqrt{n}$ (mod 1) exposto no penultimo paragrafo do post passado. Conforme ja tinhamos adiantado, a idéia consiste em relacionar a distribuição de $\sqrt{n}$ (mod 1) com a teoria ergodica de lattices aleatorios. Antes de entrarmos nos pormenores, vamos introduzir algumas notações. Lembramos que $\Lambda_0\subset\mathbb{R}^2$ é uma rede se $\Lambda_0$ é um subgrupo discreto isomorfo à $\mathbb{Z}^2$ . Dizemos que uma rede $\Lambda_0$ é unimodular se o toro $\mathbb{R}^2/\Lambda_0$ tem area 1. Além disso, um lattice $\Lambda\subset\mathbb{R}^2$ é um subconjunto da forma $\Lambda = \Lambda_0+v$ onde $v\in\mathbb{R}^2$ e $\Lambda_0$ é uma rede.

Observação 0. Normalmente, o que chamamos acima de “rede” usualmente corresponde a um lattice na literatura, sendo que o que chamamos de “lattice” é denotado por “lattice translate” no artigo de Elkies e McMullen. Entretanto, suponho que não teremos problemas com a notação (pelo contrario, como estaremos apenas interessados nas translações das redes, essa notação sera benéfica).

Denotaremos por $E$ o espaço de lattices unimodulares. Como o leitor pode verificar, este espaço é naturalmente identificado com

$E = ASL(2,\mathbb{R})/ASL(2,\mathbb{Z}),$

onde $ASL(2,\mathbb{R})$ é o grupo de transformações afins $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ da forma $g(v) = Av+b$ com $\det A=1$ e $ASL(2,\mathbb{Z})$ é o subgrupo discreto de $ASL(2,\mathbb{R})$ cujos elementos $g(v)=Av+b$ satisfazem $A\in SL(2,\mathbb{Z})$ e $b\in\mathbb{Z}^2$ .

Uma consequência direta dessa identificação é o fato de $E$ possuir uma unica probabilidade $\mu_E$ invariante pela ação pela esquerda de $ASL(2,\mathbb{R})$ (sendo esta probabilidade dita a medida de Haar de $E$ ). Em particular, a noção de “lattice aleatorio” de $E$ faz sentido: um lattice aleatorio sera um lattice com propriedades genéricas com relação a $\mu_E$ , i.e., lattices satisfazendo propriedades definindo um conjunto de $\mu_E$ probabilidade total).

Neste ponto, podemos fazer um esquema informal da prova do teorema de Elkies e McMullen.

-Programa da prova do teorema de Elkies e McMullen-

Fixemos N inteiro grande, $t>0$ e $I=[x,x+t/N]\subset\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ , onde $x\in [0,1]$ é tomado aleatoriamente (com relação a medida de Lebesgue). Nesses termos, o programa da demonstração sera o seguinte:

determinar a distribuição de $\sqrt{n}$ (mod 1) equivale a computar a probabilidade $P_N(t)$ de $I$ conter algum ponto $\{\sqrt{n}\}$ com $0\leq n\leq N$ ;
por outro lado, $\{\sqrt{n}\}\in I$ $\iff$ $\sqrt{n}\in I+a$ para algum $a\in\mathbb{Z}$ $\iff$ $n\in (I+a)^2$ para algum $a\in\mathbb{Z}$ ;
em seguida, mostra-se que, para efeitos do calculo da distribuição das lacunas de $\{\sqrt{n}\}$ , podemos trocar $(I+a)^2$ por sua aproximação linear

$(I+a)^2\sim (a+x)^2+ 2(a+x)(I-x) = a^2-x^2+2(a+x)I$ ;

além disso, prova-se que podemos assumir que $N$ é um quadrado;

com estes fatos em mãos, olhamos para a aproximação linear $a^2-x^2+2(a+x)I$ de $(I+a)^2$ e notamos que

$n\in a^2-x^2+2(a+x)I$ (para $0\leq n\leq N$ )

$\Updownarrow$

$(\mathbb{Z}+x^2)\cap 2(a+x)I\neq\emptyset$ (para $0\leq a+x\leq\sqrt{N}$ )

esta ultima condição pode ser escrita como $T\cap\mathbb{Z}^2\neq\emptyset$ onde $T\subset\mathbb{R}^2$ é o triângulo de area $t$ definido por

$T:=\{(a,b): b+x^2\in 2(a+x)I \textrm{ e } a+x\in [0,\sqrt{N}]\}$ .

denotando por $S_t$ o triângulo “padrão” de area $t$ com vértices $(0,0), (1,0), (0,2t)$ e considerando $g\in ASL(2,\mathbb{R})$ a unica transformação afim com $g(T)=S_t$ e $g(-x,-x^2)=(0,0)$ , podemos reescrever a condição anterior como

$g(\mathbb{Z}^2)\cap S_t\neq\emptyset$ ;

resumindo, toda a discussão acima permite traduzirmos o calculo da probabilidade $P_N(t)$ de $I=[x,x+t/N]$ conter algum elemento $\{\sqrt{n}\}$ com $0\leq n\leq N$ no problema de computar a probabilidade do lattice $\Lambda_N(x):=g(\mathbb{Z}^2)$ intersectar o triângulo padrão $S_t$ .
entretanto, para $N\gg 1$ grande espera-se que $\Lambda_N(x)\in E$ se comporte como um lattice aleatorio: de fato, assim como todo bom lattice aleatorio, temos que a sequência $\Lambda_N(x)$ é uniformemente distribuida - para toda $f$ função continua de suporte compacto de $E$ vale

$\int_0^1 f(\Lambda_N(x)) dx\to\int_E f(\Lambda) d\mu_E(\Lambda)$ quando $N\to\infty$

usando o resultado de distribuição uniforme anterior, veremos que $P_N(t)\to p(t)$ quando $N\to\infty$ , onde $p(t)$ é a probabilidade de um lattice aleatorio intersectar o triângulo padrão $S_t$ ;
finalmente, revertendo as traduções, mostra-se que $p''(t)=-F(t)$ , onde $F(t)$ é a distribuição de lacunas de $\{\sqrt{n}\}$ , o que acaba a demonstração porque $p''(t)$ pode ser calculado explicitamente através de formulas naturais para a medida $\mu_E$ .

Apos esta descrição informal do programa de Elkies e McMullen, passaremos a discutir com certo nivel de detalhes todos os pontos acima.

-Algumas reduções preliminares-

Para cada $N\geq 1$ inteiro, definimos a função $\lambda_N:[0,\infty)\to [0,1]$ assim. Consideramos os $N$ pontos $\{\sqrt{n}\}$ , $n=1,\dots,N$ , do circulo $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ . Isso fornece uma partição do circulo em $N$ intervalos $J_1,\dots, J_N$ dos quais $\lfloor N\rfloor-1$ tem tamanho zero (estes intervalos são as lacunas de $\{n\}$ , $1\leq n\leq N$ ). Nessa notação,

$\lambda_N(x):=\frac{1}{N}\#\{1\leq i\leq N: |J_i|<x/N\}.$

Deixamos para o leitor verificar as seguintes propriedades elementares de $\lambda_N(x)$ :

$\lambda_N$ é não-decrescente e continua pela esquerda (de fato, $\lambda_N$ é constante exceto por quantidade finita de saltos); além disso, $\lambda_N(0)=0$ e $\lambda_N(\infty)=1$ ;
$\int_0^{\infty}(1-\lambda_N(x))dx = \int_0^{\infty} x d\lambda_N(x) = 1$ (porque $\int_0^{\infty} x d\lambda_N(x)$ é a soma dos comprimentos das lacunas);

Nesses termos, o resultado de Elkies e McMullen se converte no seguinte teorema:

Teorema 1. Existe uma função continua $\lambda_{\infty}:[0,\infty)\to [0,1]$ tal que $\lambda_N\to \lambda_\infty$ uniformemente em compactos quando $N\to\infty$ . Mais ainda,

$\lambda_\infty(x) = \int_0^x F(\xi)d\xi$ ,

onde $F$ é uma função explicita a ser calculada mais tarde.

Note que a função $F$ acima é a distribuição das lacunas de $\{\sqrt{n}\}$ procurada: com efeito, para todo $0\leq x_1<x_2<\infty$ , a quantidade de lacunas de $\{\sqrt{n}\}$ ( $1\leq n\leq N$ ) com tamanho entre $x_1/N$ e $x_2/N$ é assintotico à $\int_{x_1}^{x_2}F(\xi)d\xi$ .

Para estudar $\lambda_N$ , introduzimos $L_N:\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to [0,\infty)$ dada por

$L_N(t) =\begin{cases}0, \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\textrm{se } t=\{\sqrt{n}\} \textrm{ para algum } 0\leq n\leq N \\ N\times \textrm{tamanho da lacuna contendo } t, \quad \textrm{caso contrario.}\end{cases}$

Usando $L_N$ podemos escrever a união das lacunas de tamanho $<x/N$ como

$I_N(x):=\{t\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}: L_N(t)<x\}.$

Em particular, $|I_N(x)| = \int_0^x \xi d\lambda_N(\xi)$ , de maneira que o teorema 1 equivale à:

Teorema 2. $|I_N(x)|\to\int_0^x \xi F(\xi) d\xi$ uniformemente para $x$ variando em compactos quando $N\to\infty$ .

Agora vamos falar um pouco das reduções do(s) teorema(s) acima. A primeira simplificação do teorema 1 foi anunciada no quarto ponto do programa discutido anteriormente: no enunciado deste teorema podemos assumir que $N$ é um quadrado perfeito, i.e., $N=s^2$ com $s\in\mathbb{Z}$ . Mais precisamente, temos o seguinte enunciado:

Lema 1 (lemma 3.1 de Elkies e McMullen). Suponha que $\lambda_{s^2}$ converge unif. em compactos para uma função continua $\lambda_{\infty}$ quando $s\to\infty$ . Então, $\lambda_N$ também converge (unif. em compactos) para $\lambda_\infty$ quando $N\to\infty$ .

Prova. Observe que todo inteiro $N$ esta a uma distância de $O(\sqrt{N})$ de um quadrado perfeito $s^2$ . Por outro lado, a troca de $N$ por $s^2$ muda $3|N-s^2|\lesssim\sqrt{N}$ dos tamanhos das lacunas (ao maximo) e multiplica o fator normalizante $1/N$ por $N/s^2 = 1+O(\sqrt{1/N})$ . Em particular, segue que $\lambda_{s^2}\to\lambda_{\infty}$ unif. em compactos implica $\lambda_N\to\lambda_{\infty}$ unif. em compactos. $\square$

A segunda simplificação foi descrita no segundo e terceiro pontos do programa de Elkies e McMullen: no estudo de $\lambda_N(x)$ podemos trocar as expressões quadraticas por suas aproximações lineares sem afetar as assintoticas. Para descrever detalhadamente isso, precisaremos introduzir mais alguma notação. Lembre que cada inteiro $n$ pode ser escrito de maneira unica como $a^2+b$ onde $a = \lfloor n\rfloor = \sqrt{n} - \{\sqrt{n}\}$ . Utilizando o lema 1, podemos assumir que $N$ é um quadrado perfeito, digamos $N = s^2$ . Nessa situação, vemos que

$L_N(t)=N(t_2-t_1)$

onde $t_2$ é o menor numero real $\geq t$ com $(a_2+t_2)^2\in\mathbb{Z}$ para algum $a_2<s$ inteiro e $t_1$ é o maior numero real $\leq t$ com $(a_1+t_1)^2\in\mathbb{Z}$ para algum $a_1<s$ inteiro. Para entender melhor a função $L_N$ fazemos a seguinte observação aritmética:

Observação 1. Para $a_j\in\mathbb{Z}$ ( $j=1,2$ ), temos que $(a_j+t_j)^2 = a_j^2+2a_jt_j+t_j^2\in\mathbb{Z}$ se e so se $b_j:=2a_jt_j+t_j^2\in\mathbb{Z}$ . Além disso, temos $0\leq b_j\leq (a_j+1)^2-a_j^2=2a_j+1$ quando $0\leq t\leq 1$ .

Usando esta pequena observação, podemos re-escrever a identidade $L_N(t) = N(t_2-t_1)$ como

$L_N(t)=N((t_2-t)-(t_1-t))= N(\min\limits_{r_t(a,b)\geq 0} r_t(a,b) - \max\limits_{r_t(a,b)\leq 0} r_t(a,b))$ onde $a, b$ variam sobre os inteiros satisfazendo

$0<a<s$ e $0\leq b\leq 2a+1$ .

Observação 2. De fato, esta ultima condição sobre $b$ é superflua: por um lado, $0\leq b\leq 2a+1$ equivale a $0\leq r_t(a,b)+t\leq 1$ e por outro lado $\min\limits_{r_t(a,b)\geq 0} r_t(a,b)+t$ e $\max\limits_{r_t(a,b)\leq 0} r_t(a,b)$ estão entre 0 e 1 ja que $r_t(1,0)+t=0$ e $r_t(1,3)+t=1$ .

Continuando o estudo de $L_N$ , iremos aplicar a idéia discutida no terceiro ponto do programa de Elkies e McMullen: na definição de $b_j$ (feita na obs. 1), trocamos $t_j^2$ pela sua aproximação linear $t^2+2t(t_j-t) = 2t_jt-t^2$ em torno de $t$ . Com essa troca, $b_j$ é substituido por $2a_j t_j + (2t_jt-t^2) = 2(a+t)t_j-t^2$ . Por esse motivo, vamos considerar $\tau_j = (b_j+t^2)/2(a+t)$ a solução da equação

$2(a+t)\tau_j-t^2=b_j$

e vamos trocar $t_j$ por $\tau_j$ na definição de $L_N$ , de modo que obtemos a função

$\widetilde{L}_N(t):=N(\min\limits_{\rho_t(a,b)\geq 0} r_t(a,b) - \max\limits_{\rho_t(a,b)\leq 0} r_t(a,b))$

onde $\rho_t(a,b) := \frac{b+t^2}{2(a+t)} - t = \frac{a^2+b-(a+t)^2}{2(a+t)}$ e $a, b$ variam sobre os inteiros satisfazendo

$0<a<s$ e $0\leq b\leq 2a+1$ .

Observação 2′. Assim como na observação 2, a condição acima sobre $b$ é superflua.

Analogamente ao conjunto $I_N(x)$ , definimos

$\widetilde{I}_N(x):=\{t\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}: \widetilde{L}_N(t)<x\}.$

Como antecipamos no terceiro ponto do programa de Elkies e McMullen, a troca de $t_j^2$ por sua aproximação linear (ou equiva- lentemente a troca de $t_j$ por $\tau_j$ ) na definição de $L_N$ não altera as assintoticas. Mais precisamente, temos o seguinte teorema:

Teorema 3 (proposition 3.2 de Elkies e McMullen). Suponha que $|\widetilde{I}_N(x)|$ converge unif. em compactos para $\int_0^x \xi F(\xi)d\xi$ com $F$ continua. Então o mesmo ocorre com $I_N$ :

$|I_N(x)|\to \int_0^x \xi F(\xi) d\xi$

quando $N\to\infty$ (unif. em compactos).

A explicação “conceitual” para a validade desse teorema é: tipicamente espera-se que $t_j=t+O(1/N)$ , de modo que $|t_j-\tau_j|=O(1/a_jN^2)$ (ja que $\tau_j$ é a solução da equação $2(a_j+t)\tau_j-t^2=b_j=2a_jt_j+t_j^2$ ). Mais ainda, dado $\varepsilon>0$ , temos $1/a_j<\varepsilon$ para a “maioria” dos pares $(a_j,b_j)$ . Portanto, a expectativa é que a troca de $t_j$ por $\tau_j$ muda o tamanho da maioria das lacunas de $O(\varepsilon/N^2)$ , o que não altera o comportamento assintotico de $|I_N|$ .

Para formalizar a explicação anterior, consideramos o quociente

$\frac{\rho_t(a,b)}{r_t(a,b)} = \frac{\sqrt{a^2+b}+a+t}{2(a+t)}\in [\frac{2a+1}{2a+2}, \frac{2a+1}{2a}]$ .

Manipulando essa informação (veja o lemma 3.3 do artigo de Elkies e McMullen), segue que

Lema 2. Para todo $t\in [0,1]$ vale $\frac{3}{4}L_N(t)\leq \widetilde{L}_N(t)\leq \frac{3}{2} L_N(t)$ . Além disso, para todo $A\in\mathbb{N}$ , temos que a estimativa

$\frac{2A+1}{2A+2}\widetilde{L}_N(t)\leq\frac{2A+1}{2A}L_N(t)$

para todo $t\in[0,1]$ exceto para um conjunto de tamanho $\leq (A+2)(A-1)/(s-1)$ .

Como o leitor pode verificar, este lema implica facilmente nas seguintes estimativas

$|\widetilde{I}_N(3x/4)|\leq |I_N(x)|\leq |\widetilde{I}_N(3x/2)|$

$|\widetilde{I}_N(\frac{2A+1}{2A+2}x)|-O(A^2/s)\leq |I_N(x)|\leq |\widetilde{I}_N(\frac{2A+1}{2A}x)|+ O(A^2/s)$

para todo $x\in [0,\infty)$ e $A=1,2,\dots$ . Usando essas estimativas com $A=1+\lfloor s^{1/3}\rfloor$ (ou qualquer outra função crescente de $s$ com $A^2/s\to 0$ ), obtemos o teorema 3.

Uma vez que temos o teorema 3 em mãos, nosso objetivo fica reduzido ao estudo assintotico de $\widetilde{L_N}$ . Para isso, faremos na proxima seção a interpretação dessa quantidade em termos de lattices conforme proposto os pontos 5, 6, 7 e 8 do programa de Elkies e McMullen.

-Interpretação geométrica de $\widetilde{L}_N$ -

Como dissemos no ponto 6 do programa, vamos usar um triângulo $T$ conveniente (cuja forma ja explicitamos). Com nossa notação atual, $T$ é o triângulo no plano $(a,b)$ cujo interior é determinado pelas desigualdades

$0<a+t<s, \, \, 2c_-(a+t)/s^2 < b-2ta-t^2 < 2c_+ (a+t)/s^2$ ,

para $c_-<0<c_+$ . Fazendo as traduções diretas das notações, o leitor pode checar facilmente que $\widetilde{L}_N$ é interpretado em termos de $T$ como no seguinte lema:

Lema 3. Para cada $N=s^2$ e $t\in [0,1]$ , temos as seguintes possibilidades:

se $\widetilde{L}_N(t)\neq 0$ , então $\widetilde{L}_N(t)$ é a area $c_+-c_-$ do maior triângulo $T$ (definido acima) cujo interior não intersecta $\mathbb{Z}^2-\{(0,0),(0,1)\}$ ;

se $\widetilde{L}_N(t)=0$ , então todos triângulos $T$ como acima contém o ponto $(a,b)$ cujas coordenadas satisfazem $b-2ta-t^2=0$ com $0<a<s$ .

Em seguida, fazemos uma “limpeza” no enunciado do lema acima observando que as possibilidades $(a,b)= (0,0), (0,1)$ não afetam $\widetilde{L}_N(t)$ exceto para $t\in [0,1]$ num subconjunto de tamanho $O(1/s)$ :

Lema 4. A caracterização da quantidade $\widetilde{L}_N(t)$ feita no lema 3 não é alterada pela inclusão dos casos $(a,b)=(0,0), (0,1)$ exceto se $0\leq t < 1/(s-1)$ ou $t^{-1}-t < 1/(s-1)$ .

A prova desse lema é uma simples analise de caso: para os de- talhes veja o lemma 3.7 de Elkies e McMullen. Usando este lema, segue que a inclusão dos casos $(a,b)=(0,0), (0,1)$ não afeta a assintotica de $|\widetilde{I}_N(t)|$ (ja que esta modificação altera os valores de $\widetilde{L}_N(t)$ apenas num subconjunto de tamanho $O(1/s)$ ).

Agora aplicaremos a idéia discutida no ponto 7 do programa: consideramos a transformação afim $g$ de $\mathbb{R}^2$ definida por

$g(a,b) = (w_1,w_2)=(s(b-2ta-t^2),(a+t)/s).$

Observe que $g$ leva o vértice $(-t,-t^2)$ na origem $(0,0)$ , o triângulo $T$ no triângulo

$\Delta_{c_-,c_+}:=\{(w_1,w_2)\in\mathbb{R}^2: 0<w_2<1, \, 2c_- w_2<w_1<2c_+ w_2\}$

e o lattice $\mathbb{Z}^2$ no lattice $\Lambda_{s^2}(t)=g(\mathbb{Z}^2)$ dado por

$\Lambda_{s^2}(t):=\{(s(b-2ta-t^2),(a+t)/s): (a,b)\in\mathbb{Z}^2)\}$ .

Note que o triângulo “padrão” $\Delta_{c_-,c_+}$ depende de $c_-,c_+$ mas não de $s,t$ (para efeitos de comparação, esse triângulo corresponde ao triângulo $S_t$ do ponto 7 do programa de Elkies e McMullen).

Para finalizar nossas interpretações, introduzimos a seguinte definição:

Definição 1. Dado um lattice $\Lambda$ no plano $(w_1,w_2)$ , denotamos por $L(\Lambda)$ a area $c_+-c_-$ do maior triângulo da forma $\Delta_{c_-,c_+}$ disjunto de $\Lambda$ com as convenções $L(\Lambda)=0$ quando não existir um tal triângulo e $L(\Lambda)=\infty$ quando todos estes triângulos forem disjuntos de $\Lambda$ .

Com essa notação, podemos aplicar o lema 4 para resumir toda essa discussão no seguinte fato:

Proposição 1 (proposition 3.8 de Elkies e McMullen). Para todo $s\in\mathbb{N}, x\in\mathbb{R}$ , o conjunto dos $t\in [0,1]$ com $L(\Lambda_{s^2}(t))\leq x$ tem tamanho

$|\widetilde{I}_{s^2}(x)|+O(1/s)$ .

Em outras palavras, a proposição 1 diz que a questão de estudar a assintotica de $\widetilde{I}_{s^2}$ fica reduzida ao estudo do comportamento da função $L$ na familia de lattices $\Lambda_{s^2}(t)$ .

Nesse ponto, fica faltando “apenas” detalhar os pontos restantes (9, 10, 11) do programa. Moralmente, esses pontos essencialmente falam que o estudo de $L$ nos lattices $\Lambda_{s^2}(t)$ pode ser feito usando-se a teoria ergodica de lattices aleatorios (em particular, os teoremas de Ratner são bem uteis nessa tarefa).

Entretanto, deixaremos a discussão da parte “ergodica” da prova do teorema de Elkies e McMullen para os proximos posts. Até la!

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Disquisitiones Mathematicae (versão portuguesa)

Por Carlos Matheus

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