Um problema basico em teoria dos numeros consiste em entender a distribuição de certas sequências de numeros ao redor do circulo.
Mais precisamente, dado um numero real 
, denotamos por
a parte fracionaria de 
. Nesta linguagem, o problema citado acima seria: dada uma sequência de numeros reais 
, 
, descrever como o comportamento da sequência 
no circulo 
.
A historia do problema de distribuição de sequências (mod 1) é antiga, de modo que faremos somente alguns comentarios. Um resultado classico de Kronecker afirma que a sequência 
é densa no circulo para todo 
irracional. Outro resultado classico de Weyl diz que a mesma sequência (para 
irracional) é equidistribuida, i.e., para todo intervalo 
,
quando 
,
onde 
denota o comprimento de 
. Além disso, sabe-se que a sequência 
é equidistribuida para quase todo 
(apesar de certos casos especificos tais como 
ainda estarem em aberto). Em geral, temos o critério de Weyl segundo o qual uma sequência (mod 1) é equidistribuida se e somente se certas somas exponenciais tendem a zero.
Um exemplo particularmente interessante para o post de hoje é a sequência 
para 
. Um primeiro resultado elementar sobre essa sequência é o fato dela ser equidistribuida:
Exercicio 1. Prove que é equidistribuida em , onde . (Sugestão: Interpretando o problema em 
, use que 
e 
quando 
)
Uma maneira bem popular de aprofundar o estudo da distribuição de uma sequência consiste em considerar as lacunas 
deixadas por esses pontos em , ou seja, 
são as componentes conexas de 
. Note que a soma dos comprimentos 
das lacunas 
é 1, de maneira que a média do tamanho das lacunas é:
Em outras palavras, a “escala natural” para os tamanhos das lacunas é 
. Considerando essa “escala natural”, introduzimos a seguinte definição:
Definição 1. Dizemos que uma sequência é exponencialmente distribuida sempre que, para quaisquer 
, temos
![\frac{1}{N}\#\{J\in\mathcal{J}(N): |J|\in [a/N, b/N]\}\to \int_a^b e^{-t} dt](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5C%23%5C%7BJ%5Cin%5Cmathcal%7BJ%7D%28N%29%3A+%7CJ%7C%5Cin+%5Ba%2FN%2C+b%2FN%5D%5C%7D%5Cto+%5Cint_a%5Eb+e%5E%7B-t%7D+dt&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\frac{1}{N}\#\{J\in\mathcal{J}(N): |J|\in [a/N, b/N]\}\to \int_a^b e^{-t} dt")
quando .
Exemplo 1. Pela escolha aleatoria de pontos do circulo obtém-se uma sequência exponencialmente distribuida (para mais detalhes veja o livro de W. Feller).
Retornando para a sequência com , alguns experimentos numéricos sugerem que esta sequência deve ser exponencialmente distribuida para todo 
. Mais ainda, M. Boshernitzan observou numericamente em 1993 uma distribuição diferenciada para o caso 
. Entretanto, a confirmação rigorosa dessa observação numérica de Boshernitzan so foi obtida recentemente por Elkies e McMullen.
Mais precisamente, N. Elkies e C. McMullen mostraram o seguinte teorema acerca da distribuição das lacunas de 
(mod 1):
Teorema (Elkies e McMullen (2004)). A distribuição das lacunas de é dada pela função continua
![F(t):=\begin{cases}6/\pi^2, \quad t\in [0,1/2], \\ F_2(t), \quad t\in[1/2,2], \\ F_3(t), \quad t\in [2,\infty), \end{cases}](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=F%28t%29%3A%3D%5Cbegin%7Bcases%7D6%2F%5Cpi%5E2%2C+%5Cquad+t%5Cin+%5B0%2C1%2F2%5D%2C+%5C%5C+F_2%28t%29%2C+%5Cquad+t%5Cin%5B1%2F2%2C2%5D%2C+%5C%5C+F_3%28t%29%2C+%5Cquad+t%5Cin+%5B2%2C%5Cinfty%29%2C+%5Cend%7Bcases%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "F(t):=\begin{cases}6/\pi^2, \quad t\in [0,1/2], \\ F_2(t), \quad t\in[1/2,2], \\ F_3(t), \quad t\in [2,\infty), \end{cases}")
onde 
e 
são funções analiticas reais explicitas. Mais ainda, a função 
não é analitica (e nem mesmo 
) nos pontos 
e 
. Ou seja, exibe uma transição de fase genuina em e .
Para a conveniência do leitor, lembramos que 
é a distribuição de lacunas de uma sequência sempre que, para quaisquer , temos
![\frac{1}{N}\#\{J\in\mathcal{J}(N): |J|\in [a/N, b/N]\}\to \int_a^b G(t) dt](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5C%23%5C%7BJ%5Cin%5Cmathcal%7BJ%7D%28N%29%3A+%7CJ%7C%5Cin+%5Ba%2FN%2C+b%2FN%5D%5C%7D%5Cto+%5Cint_a%5Eb+G%28t%29+dt&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\frac{1}{N}\#\{J\in\mathcal{J}(N): |J|\in [a/N, b/N]\}\to \int_a^b G(t) dt")
quando .
No teorema de Elkies e McMullen acima, evitamos colocar as expressões explicitas das funções e para não sobrecarregar o enunciado, mas iremos apresentar agora as formulas dessas funções. Para isso, denote 
e defina
se 
,
se 
.
Aqui ![\psi(r) = \tan^{-1}[(2r-1)/\sqrt{4r-1}] - \tan^{-1}[1/\sqrt{4r-1}]](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cpsi%28r%29+%3D+%5Ctan%5E%7B-1%7D%5B%282r-1%29%2F%5Csqrt%7B4r-1%7D%5D+-+%5Ctan%5E%7B-1%7D%5B1%2F%5Csqrt%7B4r-1%7D%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\psi(r) = \tan^{-1}[(2r-1)/\sqrt{4r-1}] - \tan^{-1}[1/\sqrt{4r-1}]")
, 
, 
, 
e 
.
Em particular, vemos que é continua em e (com valores 
e 
). Mais ainda, é 
mas não é 
em e não é em (como uma expansão em série de Taylor perto desses pontos mostra). Outra consequência direta das formulas explicitas para é que a “cauda” da distribuição de 
(mod 1) não é exponencial: 
quando 
. Comparando isso com o exemplo 1, temos que o aparecimento de lacunas grandes é mais provavel para a sequência (mod 1) do que para uma sequência aleatoria de pontos.
Dito isto, iremos concentrar nossos esforços na discussão da bela prova do teorema de Elkies e McMullen. Como a demonstração deste belo resultado envolve bastante detalhes técnicos, iremos fazer o seguinte: no proximo paragrafo, daremos um esquema bastante vago do argumento, deixando todos os pormenores para posts futuros.
Grosso modo, a ideia de Elkies e McMullen consiste em traduzir o problema do calculo da distribuição das lacunas de (mod 1) para a questão de computar a probabilidade de um lattice “aleatorio” de 
intersectar um certo triângulo fixado. A vantagem desse procedimento aparentemente artificial consiste no fato de que a teoria ergodica de lattices aleatorios esta bem desenvolvida gracas a poderosos resultados do calibre dos teoremas de Ratner, o que nos permite saber precisamente a probabilidade desejada (de um lattice encontrar um triângulo fixo).
Com esse esquema muito superficial, encerramos este post “introdutorio”. Até mais!
matheuscmss